Question

如图，梯形OABC中，OA=OC=2AB=1，OC∥AB，∠AOC=

π

3

，设

OM

=λ

OA

，

ON

=μ

OC

（λ＞0，μ＞0），

OG

=

1

2

（

OM

+

ON

）．
（Ⅰ）当λ=

1

2

，μ=

1

4

时，点O，G，B是否共线，请说明理由．
（Ⅱ）若△OMN的面积为

3

16

，求|

OG

|的最小值．

Answer 1

考点：向量在几何中的应用

专题：平面向量及应用

分析：（Ⅰ）当λ=

1

2

，μ=

1

4

时，

OG

=

1

4

OA

+

1

8

OC

，

OB

=

OA

+

1

2

OC

，故

OB

=4

OG

，故O，G，B是否共线，
（Ⅱ）若△OMN的面积为

3

16

，可得|

OM

|•|

ON

|=

1

4

，进而可得

OM

•

ON

=

1

8

，进而利用基本不等式求出|

OG

|²≥

3

16

，进而可得|

OG

|的最小值．

解答： 解：（Ⅰ）O，G，B是否共线，理由如下：
∵梯形OABC中，OA=OC=2AB=1，OC∥AB，
∴

AB

=

1

2

OC

，
当λ=

1

2

，μ=

1

4

时，

OG

=

1

2

（

OM

+

ON

）=

1

2

（

1

2

OA

+

1

4

OC

）=

1

4

OA

+

1

8

OC

．
又∵

OB

=

OA

+

AB

=

OA

+

1

2

OC

∴

OB

=4

OG

，
故O，G，B是否共线，
（Ⅱ）若△OMN的面积为

3

16

，
∴

1

2

|

OM

|•|

ON

|•sin∠AOC=

3

16

，
∴|

OM

|•|

ON

|=

1

4

，
∴

OM

•

ON

=

1

8

，
又∵|

OG

|²=

1

4

（|

OM

|²+|

ON

|²+2

OM

•

ON

）≥

1

4

（2|

OM

|•|

ON

|+2

OM

•

ON

）=

1

4

（

1

2

+

1

4

）=

3

16

，
故|

OG

|≥

3

4

，
即|

OG

|的最小值为

3

4

点评：本题考查的知识点是向量共线的充要条件，三角形的面积公式，向量的数量积，基本不等式，是向量，平面几何，基本不等式的综合应用，难度中档．