【题目】椭圆: 的离心率为,抛物线:截轴所得的线段长等于.与轴的交点为,过点作直线与相交于点直线分别与相交于.
(1)求证:;
(2)设,的面积分别为,若 ,求的取值范围.
【答案】(1)证明见解析;(2).
【解析】试题分析:
(1)由题意可求得椭圆的方程为.直线的方程为(存在),,.联立直线方程与抛物线方程可得,,韦达定理计算可得,则.
(2)由(1)可知和均为直角三角形,设直线方程为,与抛物线方程联立可得,同理可得,则.同理求得,则,故的取值范围是[,+∞).
试题解析:
(1)由题设得,∴,又,∴ ,解得.
因此椭圆的方程为.由抛物线的方程为,得.
设直线的方程为(存在),,.
于是由消去得,∴,①
∴
∴将①代入上式得,
故.
(2)由(1)知,,∴和均为直角三角形,设直线方程为,直线方程为,且,由解得或,∴,同理可得,
∴.
由解得或,∴,
同理可得,
∴,
∴
又∵>0,∴≥.
故的取值范围是[,+∞).
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【题目】已知长度为的线段的两个端点、分别在轴和轴上运动,动点满足,设动点的轨迹为曲线.
(1)求曲线的方程;
(2)过点且斜率不为零的直线与曲线交于两点、,在轴上是否存在定点,使得直线与的斜率之积为常数.若存在,求出定点的坐标以及此常数;若不存在,请说明理由.
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【题目】设三次函数f(x)=ax3+bx2+cx+1的导函数为f(x)=3ax(x-2),若函数y=f(x)共有三个不同的零点,则a的取值范围是( )
A. B. C. D.
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【题目】已知函数.
(1)如图,设直线将坐标平面分成四个区域(不含边界),若函数的图象恰好位于其中一个区域内,判断其所在的区域并求对应的的取值范围;
(2)当时,求证:且,有.
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【题目】如图,在平面四边形ABCD中,已知A=,B=,AB=6.在AB边上取点E,使得BE=1,连接EC,ED.若∠CED=,EC=.
(1)求sin∠BCE的值;
(2)求CD的长.
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【题目】在平面直角坐标系中,曲线的参数方程为(为参数且 )曲线的参数方程为(为参数,且),以为极点,轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线的极坐标方程为: ,曲线的极坐标方程为.
(1)求与的交点到极点的距离;
(2)设与交于点,与交于点,当在上变化时,求的最大值.
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【题目】如图,在四棱锥中,底面是平形四边形,设,平面,点为的中点,且,.
(1)若,求二面角的正切值;
(2)是否存在使,若存在求出,若不存在请说明理由.
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