Question

（2013•浙江二模）某竞猜活动有4人参加，设计者给每位参与者1道填空题和3道选择题，答对一道填空题得2分，答对一道选择题得1分，答错得0分，若得分总数大于或等于4分可获得纪念品，假定参与者答对每道填空题的概率为

1

2

，答对每道选择题的概率为

1

3

，且每位参与者答题互不影响．
（Ⅰ）求某位参与竞猜活动者得3分的概率；
（Ⅱ）设参与者获得纪念品的人数为ξ，求随机变量ξ的分布列及数学期望．

Answer 1

分析：（Ⅰ）确定某位参与竞猜活动者得3分，包括答对一道填空题且只答对一道选择题、答错填空题且答对三道选择题，求出相应的概率，即可得到结论；
（Ⅱ）确定随机变量ξ的取值，求出相应的概率，可得分布列与期望．

解答：解：（Ⅰ）答对一道填空题且只答对一道选择题的概率为

1

2

×

C

2 3

×(

2

3

)2×

1

3

=

2

9

，
答错填空题且答对三道选择题的概率为

1

2

×(

1

3

)3=

1

54

（对一个4分）
∴某位参与竞猜活动者得3分的概率为

2

9

+

1

54

=

13

54

；         …（7分）
（Ⅱ）由题意知随机变量ξ的取值有0，1，2，3，4．
又某位参与竞猜活动者得4分的概率为

1

2

×

C

2 3

×(

1

3

)2×

2

3

=

1

9

某位参与竞猜活动者得5分的概率为

1

2

×(

1

3

)3=

1

54

∴参与者获得纪念品的概率为

7

54

…（11分）
∴ξ～B(4，

7

54

)，分布列为P(ξ=k)=

C

k 4

(

7

54

)k(

47

54

)4-k，k=0，1，2，3，4
即

ξ	0	1	2	3	4
P	C 0 4 ( 7 54 )0( 47 54 )4	C 1 4 ( 7 54 )1( 47 54 )3	C 2 4 ( 7 54 )2( 47 54 )2	C 3 4 ( 7 54 )3( 47 54 )1	C 4 4 ( 7 54 )4( 47 54 )0

∴随机变量ξ的数学期望Eξ=4×

7

54

=

14

27

．…（14分）

点评：本题考查概率的计算，考查离散型随机变量的分布列与期望，考查学生的计算能力，属于中档题．