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设函数f(x)=px-2lnx.
(1)若p>0,求函数f(x)的最小值;
(2)若函数g(x)=f(x)-
px
在其定义域内为单调函数,求p的取值范围.
分析:(1)对函数f(x)=px-2lnx求导,通过列表即可求得函数f(x)的最小值;
(2)由g(x)=f(x)-
p
x
=px-
p
x
-2lnx,可求得g′(x)=
px2-2x+p
x2
,依题意,对参数p分p=0,p>0与p<0讨论,利用函数恒成立问题即可求得各自情况下p的范围,从而可得P的取值范围.
解答:解:(1)∵f′(x)=p-
2
x
=
px-2
x
,令f′(x)=0,得x=
2
p

∵p>0,列表如下,

从上表可以得,当x=
2
p
时,f(x)有极小值2-2ln
2
p
.(4分)
又此极小值也为最小值,所以当x=
2
p
时,f(x)有最小值2-2ln
2
p
.(5分)
(2)因为g(x)=f(x)-
p
x
=px-
p
x
-2lnx,则g′(x)=p+
p
x2
-
2
x
=
px2-2x+p
x2

由函数g(x)=f(x)-
p
x
在其定义域内为单调函数得,g′(x)≥0对x∈(0,+∞)恒成立或g′(x)≤0对x∈(0,+∞)恒成立.
①当p=0时,g′(x)=-
2
x
<0对x∈(0,+∞)恒成立(7分)
此时g(x)在其定义域内为减函数,满足要求.
②当p>0时,g′(x)≤0对x∈(0,+∞)恒成立不可能,
由g′(x)≥0对x∈(0,+∞)恒成立得px2-2x+p≥0对x∈(0,+∞)恒成立,即p≥
2x
x2+1
对x∈(0,+∞)恒成立,
∵当x∈(0,+∞)时,
2x
x2+1
=
2
x+
1
x
≤1,
∴p≥1(9分)
③当p<0时,g′(x)≥0对x∈(0,+∞)恒成立不可能,
由g′(x)≤0对x∈(0,+∞)恒成立得px2-2x+p≤0对x∈(0,+∞)恒成立,即p≤
2x
x2+1
对x∈(0,+∞)恒成立,
∵当x∈(0,+∞)时,
2x
x2+1
>0,
∴p≤0;
又∵p<0,
∴此时p<0.(11分)
综上所述,P的取值范围为(-∞,0]∪[1,+∞)..(12分)
点评:本题考查利用导数研究函数的单调性,考查导数在最大值、最小值问题中的综合应用,考查分类讨论思想与化归思想的综合应用,考查分析、逻辑推理与综合运算能力,属于难题.
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设函数f(x)=px-
q
x
-2lnx,且f(e)=pe-
q
e
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(1)求p与q的关系;
(2)若f(x)在其定义域内为单调函数,求p的取值范围;
(3)设g(x)=
2e
x
,若在[1,e]上存在实数x0,使得f(x0)>g(x0)成立,求实数p的取值范围.

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px+1
x+1
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1
2
(cn+
n
cn
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(3)在(1)和(2)的条件下,d1=2,当n≥2时,设dn=
-1
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设函数f(x)=px-
p
x
-2lnx
(Ⅰ)若函数f(x)在其定义域内为单调函数,求实数p的取值范围;
(Ⅱ)设g(x)=
2e
x
,若存在x0∈[1,e],使得f(x0)>g(x0)成立,求实数p的取值范围.

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(2)若f(x)在其定义域内为单调函数,求p的取值范围;
(3)设,若在[1,e]上存在实数x,使得f(x)>g(x)成立,求实数p的取值范围.

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