Question

【题目】已知圆与直线相切，设点为圆上一动点， 轴于，且动点满足，设动点的轨迹为曲线．

（1）求曲线的方程；

（2）直线与直线垂直且与曲线交于两点，求面积的最大值．

Answer 1

【答案】（1）；（2）．

【解析】试题分析：（1）先利用直线和圆相切求出圆的方程，再利用平面向量共线和“相关点法”求曲线的方程；（2）利用两直线间的垂直关系设出直线方程，再联立直线和椭圆的方程，得到关于的一元二次方程，利用根与系数的关系和三角形的面积公式得到表达式，再利用基本不等式求其最值.

试题解析：（1）设动点， ，因为轴于，所以，

由题意得： ，

所以圆的方程为.

由题意， ，所以，

所以，即

将代入圆，得动点的轨迹方程.

（2）由题意可设直线，设直线与椭圆交于， ，

联立方程，得，

，解得，

，

又因为点到直线的距离， ，

.

（当且仅当，即时取到最大值）

∴面积的最大值为．