Question

如图，在△OAB中，已知|

OA

|=2，|

OB

|=2

3

，∠AOB=90°，单位圆O与OA交于C，

AD

=λ

AB

，λ∈(0，1)，P为单位圆O上的动点．
（1）若

OD

=

3

4

OA

+

1

4

OB

，求λ的值；
（2）若

OC

+

OP

=

OD

，求

OC

•

OP

的值．

Answer 1

分析：（1）由题意，可得

OD

=

OA

+

AD

=

OA

+λ

AB

，再将

OD

表示为(1-λ)

OA

+λ

OB

，于是由平面向量基本定理可以得出λ所满足的方程，解出它的值；
（2）由题意，可O为原点，OA为x轴，OB为y轴建立直角坐标系，利用向量的坐标运算求出两向量

OC

，

OP

的坐标，再由向量的数量积运算求出

OC

•

OP

的值．

解答：解：（1）由题意，如图

OD = OA + AD = OA +λ AB

=

OA

+λ(

OB

-

OA

)=(1-λ)

OA

+λ

OB

又

OD

=

3

4

OA

+

1

4

OB

∴λ=

1

4

（2）以O为原点，OA为x轴，OB为y轴建立直角坐标系
记∠POA=α则P(cosα，sinα)，A(2，0)，B(0，2

3

)，C(1，0)

OD

=

OA

+λ

AB

=(2(1-λ)，2

3

λ)
由

OC

+

OP

=

OD

得

cosα+1=2(1-λ) sinα=2 3 λ

整理得16λ²-4λ=0解得λ=0（舍），λ=

1

4

∴

OP

=

OD

-

OC

=(

3

2

，

3

2

)-(1，0)=(

1

2

，

3

2

)
则

OC

•

OP

=

1

2

…（2分）

点评：本题考点为向量在几何中的应用，考查平面向量基本定理，向量的数量积表示，向量的线性运算，解题的关键是理解题意，选择恰当的方法求值，第一小题关键是理解平面向量基本定理的意义，由在基底上的分解是唯一的得出参数的方程求参数，第二小题关键是依据题设条件建立坐标系，利用向量的坐标表示计算两向量的内积，本题考察了议程的思想，数形结合的思想，是向量中经典题型