Question

19．如图，四棱锥P-ABCD的各棱长都为a．
（1）用向量法证明BD⊥PC；
（2）求|$\overrightarrow{AC}$+$\overrightarrow{PC}$|的值．

Answer 1

分析 （1）根据题意得出四边形ABCD是菱形，$\overrightarrow{BD}$⊥$\overrightarrow{OC}$；△PBD是等腰三角形，$\overrightarrow{PO}$⊥$\overrightarrow{BD}$；
利用平面向量的数量积求出$\overrightarrow{BD}$⊥$\overrightarrow{PC}$=0，即证BD⊥PC；
（2）根据题意，利用Rt△POC，求出＜$\overrightarrow{AC}$，$\overrightarrow{PC}$＞的大小，再求模长|$\overrightarrow{AC}$+$\overrightarrow{PC}$|．

解答 解：（1）证明：设AC、BD交于点O，连接PO，如图所示；
四棱锥P-ABCD中，AB=BC=CD=DA=a，
∴四边形ABCD是菱形，
∴BD⊥AC，且OA=OC；
即$\overrightarrow{BD}$⊥$\overrightarrow{OC}$，$\overrightarrow{BD}$•$\overrightarrow{OC}$=0；
又PB=PD=a，
∴PO⊥BD，
即$\overrightarrow{PO}$⊥$\overrightarrow{BD}$，$\overrightarrow{BD}$•$\overrightarrow{PO}$=0，；
∴$\overrightarrow{BD}$•（$\overrightarrow{PO}$+$\overrightarrow{OC}$）=0，
即$\overrightarrow{BD}$•$\overrightarrow{PC}$=0，
∴$\overrightarrow{BD}$⊥$\overrightarrow{PC}$=0，即BD⊥PC；
（2）根据题意，四棱锥P-ABCD是棱长相等的正四棱锥，且AB=a，
∴顶点P在底面的射影是正方形ABCD的中心O，
在Rt△POC中，PC=a，OC=$\frac{\sqrt{2}}{2}$a，
∴OP=OC=$\frac{\sqrt{2}}{2}$a，
∴∠ACP=＜$\overrightarrow{CP}$，$\overrightarrow{CA}$＞=＜$\overrightarrow{AC}$，$\overrightarrow{PC}$＞=$\frac{π}{4}$，
∴${（\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{PC}）}^{2}$=${\overrightarrow{AC}}^{2}$+2$\overrightarrow{AC}$•$\overrightarrow{PC}$+${\overrightarrow{PC}}^{2}$=${（\sqrt{2}a）}^{2}$+2×$\sqrt{2}$a×a×cos$\frac{π}{4}$+a²=5a²；
∴|$\overrightarrow{AC}$+$\overrightarrow{PC}$|=$\sqrt{5}$a．

点评 本题考查了空间向量的应用问题，也考查了数形结合的数学思想，是综合性题目．