Question

已知椭圆的中心在坐标原点O，A，C分别是椭圆的上下顶点，B是椭圆的左顶点，F是椭圆的左焦点，直线AF与BC相交于点D．若椭圆的离心率为

1

2

，则∠BDF的正切值

 

．

Answer 1

考点：椭圆的简单性质

专题：向量与圆锥曲线,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：依题意，画出图形可知，∠BDF和

BC

与

FA

的夹角互补，利用向量的夹角公式先算出两向量夹角的余弦，再求出其正切值，则正切值的相反数即为所求．

解答： 解：由题意设A（0，b），C（0，-b），F（-c，0），B（-a，0），
∵e=

c

a

=

1

2

，结合a²=b²+c²，化简得a=2c，b=

3

c，
∴

FA

=（c，

3

c），

BC

=（2c，-

3

c），设＜

FA

，

BC

＞=θ，
∴cosθ=

FA • BC

| FA || BC |

=

-c2

2c× 7 c

=-

1

2 7

，
∴sinθ=

1-cos2θ

=

3 3

2 7

，∴tanθ=

sinθ

cosθ

=-3

3

，
∴tan∠BDF=tan（π-θ）=-tanθ=3

3

．
故答案为3

3

点评：这个题利用向量知识来解，使得问题变得简单明了，但要注意所求的角与两向量夹角间的互补关系．