Question

若函数f（x）=

x+1，-1≤x＜0 cosx，0≤x＜ π 2

的图象与x轴所围成的封闭图形的面积为a，则(x-

1

ax2

)6的展开式中常数项为（　　）

• A、-

  4

  9

• B、

  4

  9

• C、-

  20

  3

• D、

  20

  3

Answer 1

分析：由题意，求出函数f（x）的积分，求得参数a的值，积分时要分成两段进行，再由二项式定理的性质求出展开式中的常数项即可．

解答：解：由题意a=

∫

0 -1

(x+1)dx+

∫

π 2 0

cosdx=（

1

2

x2+x）|_-1⁰+sinx

|

π 2 0

=

1

2

+1=

3

2

∴(x-

1

ax2

)6=(x-

2

3x2

)6
其常数项为C₆²x4×(-

2

3x2

)2=15×

4

9

=

20

3

故选D

点评：本题考查定积分在求面积中的应用以及二项式的性质，求解的关键是正确利用定积分的运算规则求出参数a以及正确运用二项式定理求出常数项，积分与二项式定理这样结合，形式较新颖，本题易因为对两个知识点不熟悉公式用错而导致错误，牢固掌握好基础知识很重要．