Question

18．已知数列{a_n}中，a₁=-2，a₂=3，且$\frac{{a}_{n+2}-3{a}_{n+1}}{{a}_{n+1}-3{a}_{n}}$=3，则数列{a_n}的前n项和S_n=$\frac{6n-13}{12}$•3ⁿ⁺¹+$\frac{13}{4}$．

Answer 1

分析 利用$\frac{{a}_{n+2}-3{a}_{n+1}}{{a}_{n+1}-3{a}_{n}}$=3计算可知数列{a_n+1-3a_n}是以9为首项、3为公比的等比数列，进而可知a_n+1-3a_n=3ⁿ⁺¹，通过两边同时除以3ⁿ⁺¹可知$\frac{{a}_{n+1}}{{3}^{n+1}}$=$\frac{{a}_{n}}{{3}^{n}}$+1，进而可知数列{$\frac{{a}_{n}}{{3}^{n}}$}是以-$\frac{2}{3}$为首项、1为公差的等差数列，计算可知a_n=n•3ⁿ-$\frac{5}{3}$•3ⁿ，进而利用分组法计算可得结论．

解答 解：∵a₁=-2，a₂=3，
∴a₂-3a₁=3-3×（-2）=9，
又∵$\frac{{a}_{n+2}-3{a}_{n+1}}{{a}_{n+1}-3{a}_{n}}$=3，
∴数列{a_n+1-3a_n}是以9为首项、3为公比的等比数列，
∴a_n+1-3a_n=9×3^n-1=3ⁿ⁺¹，
∴$\frac{{a}_{n+1}}{{3}^{n+1}}$=$\frac{3{a}_{n}}{{3}^{n+1}}$+$\frac{{3}^{n+1}}{{3}^{n+1}}$，即$\frac{{a}_{n+1}}{{3}^{n+1}}$=$\frac{{a}_{n}}{{3}^{n}}$+1，
又∵$\frac{{a}_{1}}{3}$=-$\frac{2}{3}$，
∴数列{$\frac{{a}_{n}}{{3}^{n}}$}是以-$\frac{2}{3}$为首项、1为公差的等差数列，
∴$\frac{{a}_{n}}{{3}^{n}}$=-$\frac{2}{3}$+n-1=n-$\frac{5}{3}$，
∴a_n=（n-$\frac{5}{3}$）•3ⁿ=n•3ⁿ-$\frac{5}{3}$•3ⁿ，
利用错位相减法计算易知数列{n•3ⁿ}的前n项和为$\frac{2n-1}{4}$•3ⁿ⁺¹+$\frac{3}{4}$，
∴S_n=$\frac{2n-1}{4}$•3ⁿ⁺¹+$\frac{3}{4}$-$\frac{5}{3}$•$\frac{3（1-{3}^{n}）}{1-3}$
=$\frac{2n-1}{4}$•3ⁿ⁺¹+$\frac{3}{4}$+$\frac{5}{3}$•$\frac{3-{3}^{n+1}}{2}$
=$\frac{2n-1}{4}$•3ⁿ⁺¹+$\frac{3}{4}$+$\frac{5}{2}$-$\frac{5}{6}$•3ⁿ⁺¹
=$\frac{6n-13}{12}$•3ⁿ⁺¹+$\frac{13}{4}$，
故答案为：$\frac{6n-13}{12}$•3ⁿ⁺¹+$\frac{13}{4}$．

点评 本题考查数列的通项及前n项和，考查运算求解能力，对表达式的灵活变形及利用错位相减法是解决本题的关键，注意解题方法的积累，属于中档题．