Question

已知{a_n}是公差不为零的等差数列，{b_n}等比数列，满足b₁=a₁²，b₂=a₂²，b₃=a₃²．
（I）求数列{b_n}公比q的值；
（II）若a₂=-1且a₁＜a₂，求数列{a_n}公差的值．

Answer 1

分析：（I）设等差数列的公差为d，由题意可得，b₂²=b₁b₃，代入等差数列的通项公式可得  （a₁+d）⁴=a₁²（a₁+2d）²，解方程可得，d=(-2±

2

)a1，分别代入等比数列的通项可求公比
（II）（法一）a₁＜a₂＜0  可得，a₁²＞a₂² 则0＜q＜1，从而可求公比q=3-2

2

结合已知b₂=a₂²=1可得b₁q=1，可求b₁，a₁，进一步可求公差d
（法二）同法一可得公比q，则有

d=(-2+ 2 )a1 a1+d=-1

解方程可得 d

解答：解：（I）：设等差数列的公差为d
∵b₂²=b₁b₃∴（a₁+d）⁴=a₁²（a₁+2d）²
∴（a₁+d）²=a₁（a₁+2d） 或（a₁+2d）²=-a₁（a₁+2d）
∴d=0（舍去）或 d²+4a₁d+2a₁²=0
∴d=(-2±

2

)a1
（1）当d=(-2-

2

)a1时，q=

a22

a12

=

(a1+d)2

a12

=(1+

2

)2=3+2

2

（2）当d=(-2+

2

)a1时，q=

a22

a12

=

(a1+d) 2

a12

=(1-

2

)2=3-2

2

综上q=3+2

2

或q=3-2

2

（II）（法一）∵a₁＜a₂＜0∴a₁²＞a₂²，0＜q＜1∴q=3-2

2

∵b₂=a₂²=1即b₁q=1
∴b1=

1

q

=

1

3-2 2

=3+2

2

∴

a

2 1

=3+2

2

∴a1=-1-

2

，∴d=a2-a1=

2

（法二）a₁＜a₂＜0，∴a₁²＞a₂²，0＜q＜1∴q=3-2

2

∴

d=(-2+ 2 )a1 a1+d=-1

得

a1=-1- 2 d= 2

点评：等差数列与等比数列的综合运算的考查是近几年高考在数列部分的考查重点与热点，对考生的基本要求是数列掌握基本定义、基本公式，具备一定的推理运算的能力．