Question

如图，已知椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，离心率为

2

3

，且过点（3

3

，

5

），点A、B分别是椭圆C 长轴的左、右端点，点F是椭圆的右焦点，点P在椭圆上，且位于x轴上方，PA⊥PF．
（1）求椭圆C的方程；
（2）求点P的坐标；
（3）设M是直角三角PAF的外接圆圆心，求椭圆C上的点到点M的距离d的最小值．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：综合题,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（1）利用离心率为

2

3

，且过点（3

3

，

5

），建立方程，可得a²=36，b²=20，从而可求椭圆G的方程；
（2）由（1）可得点A（-6，0），B（6，0），F（0，4），设点P（x，y），则

AP

=（x+6，y），

FP

=（x-4，y），利用PA⊥PF，点P在椭圆上，可得点P的坐标；                                        
（3）确定M的坐标，求出椭圆上的点（x，y）到点M的距离，利用配方法，即可求得结论．

解答： 解：（1）设椭圆C的方程为

x2

a2

+

y2

b2

=1，则
∵离心率为

2

3

，且过点（3

3

，

5

），
∴

c

a

=

2

3

，

27

a2

+

5

b2

=1，
∴a²=36，b²=20，
∴椭圆C的方程

x2

36

+

y2

20

=1；
（2）由（1）可得点A（-6，0），B（6，0），F（0，4）…（6分）
设点P（x，y），则

AP

=（x+6，y），

FP

=（x-4，y），
∵PA⊥PF，
∴（x+6）（x-4）+y²=0
与椭圆方程联立得2x²+9x-18=0，
∴x=

3

2

或x=-6．由于y＞0，只能x=

3

2

，于是y=

5 3

2

       …（8分）
∴点P的坐标是（

3

2

，

5 3

2

）                                             …（9分）
（3）∵M是直角三角PAF的外接圆圆心，
∴M（-1，0），
∴椭圆上的点（x，y）到点M的距离d=

(x+1)2+y2

=

4 9 (x+ 9 4 )2+ 75 4

，
∵-6≤x≤6，
∴x=-

9

4

时，d取得最小值

5 3

2

．

点评：本题考查椭圆的标准方程，考查向量知识的运用，考查点到直线的距离，考查配方法的运用，属于中档题．