【题目】以直角坐标系的原点O为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,已知点M的直角坐标为(1,0),若直线l的极坐标方程为 ρcos(θ+ )﹣1=0,曲线C的参数方程是 (t为参数).
(1)求直线l和曲线C的普通方程;
(2)设直线l与曲线C交于A,B两点,求 .
【答案】
(1)解:因为 ,
所以ρcosθ﹣ρsinθ﹣1=0
由x=ρcosθ,y=ρsinθ,
得x﹣y﹣1=0
因为 消去t得y2=4x,
所以直线l和曲线C的普通方程分别为x﹣y﹣1=0和y2=4x
(2)解:点M的直角坐标为(1,0),点M在直线l上,
设直线l的参数方程: (t为参数),A,B对应的参数为t1,t2.
,
,
∴ = = = =1
【解析】(1)直线l的极坐标方程化为ρcosθ﹣ρsinθ﹣1=0,由x=ρcosθ,y=ρsinθ,能求出直线l的普通方程;曲线C的参数方程消去参数能求出曲线C的普通方程.(2)点M的直角坐标为(1,0),点M在直线l上,求出直线l的参数方程,得到 ,由此利用韦达定理能求出 的值.
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【题目】已知椭圆C: =1 (a>b>0)的短轴长为2,过上顶点E和右焦点F的直线与圆M:x2+y2﹣4x﹣2y+4=0相切.
(I)求椭圆C的标准方程;
(Ⅱ)若直线l过点(1,0),且与椭圆C交于点A,B,则在x轴上是否存在一点T(t,0)(t≠0),使得不论直线l的斜率如何变化,总有∠OTA=∠OTB (其中O为坐标原点),若存在,求出 t的值;若不存在,请说明理由.
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【题目】我国古代数学著作《九章算术》有如下问题:“今有金箠,长五尺,斩本一尺,重四斤,斩末一尺,重二斤,问次一尺各重几何?”意思是:“现有一根金箠,长五尺,一头粗,一头细,在粗的一端截下1尺,重4斤;在细的一端截下1尺,重2斤;问依次每一尺各重多少斤?”根据上题的已知条件,若金箠由粗到细是均匀变化的,问第二尺与第四尺的重量之和为( )
A.6 斤
B.9 斤
C.9.5斤
D.12 斤
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【题目】已知椭圆C: =1(a>b>0)经过点( ,1),且离心率为 .
(Ⅰ)求椭圆C的方程;
(Ⅱ)设M、N是椭圆C上的点,直线OM与ON(O为坐标原点)的斜率之积为﹣ ,若动点P满足 ,试探究,是否存在两个定点F1 , F2 , 使得|PF1|+|PF2|为定值?若存在,求F1 , F2的坐标,若不存在,请说明理由.
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【题目】已知f(x)= sin2x+sinxcosx﹣ .
(1)求f(x)的单调增区间;
(2)已知△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,若A为锐角且f(A)= ,b+c=4,求a的取值范围.
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【题目】点A,B,C,D在同一个球的球面上,AB=BC=1,∠ABC=120°,若四面体ABCD体积的最大值为 ,则这个球的表面积为( )
A.
B.4π
C.
D.
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【题目】已知曲线C: (θ为参数),直线l1:kx﹣y+k=0,l2:cosθ﹣2sinθ=
(Ⅰ)写出曲线C和直线l2的普通方程;
(Ⅱ)l1与C交于不同两点M,N,MN的中点为P,l1与l2的交点为Q,l1恒过点A,求|AP||AQ|
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【题目】第31届夏季奥林匹克运动会将于2016年8月5日﹣21日在巴西里约热内卢举行.下表是近五届奥运会中国代表团和俄罗斯代表团获得的金牌数的统计数据(单位:枚).
第30届伦敦 | 第29届北京 | 第28届雅典 | 第27届悉尼 | 第26届亚特兰大 | |
中国 | 38 | 51 | 32 | 28 | 16 |
俄罗斯 | 24 | 23 | 27 | 32 | 26 |
(Ⅰ)根据表格中两组数据完成近五届奥运会两国代表团获得的金牌数的茎叶图,并通过茎叶图比较两国代表团获得的金牌数的平均值及分散程度(不要求计算出具体数值,给出结论即可);
(Ⅱ)甲、乙、丙三人竞猜今年中国代表团和俄罗斯代表团中的哪一个获得的金牌数多(假设两国代表团获得的金牌数不会相等),规定甲、乙、丙必须在两个代表团中选一个,已知甲、乙猜中国代表团的概率都为 ,丙猜中国代表团的概率为 ,三人各自猜哪个代表团的结果互不影响.现让甲、乙、丙各猜一次,设三人中猜中国代表团的人数为X,求X的分布列及数学期望EX.
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