Question

7．在平面直角坐标系中，曲线C的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=t}\\{y={t}^{2}-1}\end{array}\right.$（t为参数），点M（0，-1），以原点为极点，x轴非负半轴为极轴，直线l：2ρcos（θ+$\frac{π}{6}$）+1=0，若直线l与曲线C相交于A，B两点，与y轴交于N点，则|S_△MAN-S_△MBN|=$\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 曲线C的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=t}\\{y={t}^{2}-1}\end{array}\right.$（t为参数），化为普通方程：y=x²-1．直线l：2ρcos（θ+$\frac{π}{6}$）+1=0，展开化为$\sqrt{3}$x-y+1=0．设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
代入抛物线方程|S_△MAN-S_△MBN|=$\frac{1}{2}×2×||MA|-|MB||$=|x₁+x₂|．

解答 解：曲线C的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=t}\\{y={t}^{2}-1}\end{array}\right.$（t为参数），化为普通方程：y=x²-1．
直线l：2ρcos（θ+$\frac{π}{6}$）+1=0，展开化为$2ρ×\frac{\sqrt{3}}{2}cosθ-2ρ×\frac{1}{2}sinθ$+1=0，化为$\sqrt{3}$x-y+1=0．
代入抛物线方程可得：x²$-\sqrt{3}$x-2=0，
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
∴x₁+x₂=$\sqrt{3}$．
∴|S_△MAN-S_△MBN|=$\frac{1}{2}×2×||MA|-|MB||$=|x₁+x₂|=$\sqrt{3}$．

点评 本题考查了极坐标方程化为直角坐标方程、参数方程化为普通方程、直线与抛物线相交三角形面积问题，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．