Question

已知圆，直线。
（Ⅰ）求证：对，直线与圆C总有两个不同交点；
（Ⅱ）设与圆C交与不同两点A、B，求弦AB的中点M的轨迹方程；
（Ⅲ）若定点P（1，1）分弦AB为，求此时直线的方程

Answer 1

（Ⅰ）解法一：圆的圆心为，半径为。
∴圆心C到直线的距离
∴直线与圆C相交，即直线与圆C总有两个不同交点；

方法二：∵直线过定点，而点在圆内∴直线与圆C相交，即直线与圆C总有两个不同交点；
（Ⅱ）当M与P不重合时，连结CM、CP，则，
∴
设，则，
化简得：
当M与P重合时，也满足上式。
故弦AB中点的轨迹方程是。
（Ⅲ）设，由得，
∴，化简的………………①
又由消去得……………（*）
∴  ………………………………②
由①②解得，带入（*）式解得，
∴直线的方程为或

略