Question

13．已知数列{a_n}的前n项和为S_n，对一切正整数n，点P_n（n，S_n）都在函数f（x）=x²+2x的图象上，且过点P_n（n，S_n）的切线的斜率为k_n．
（I）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）若b_n=$\frac{1}{{a}_{n}•（{k}_{n}+1）}$，求数列{b_n}的前n项和T_n．

Answer 1

分析 （I）由点P_n（n，S_n）都在函数f（x）=x²+2x的图象上，可得S_n=n²+2n，利用递推关系可得a_n．
（II）f′（x）=2x+2，过点P_n（n，S_n）的切线的斜率为k．可得k_n=2n+2．b_n=$\frac{1}{{a}_{n}•（{k}_{n}+1）}$=$\frac{1}{（2n+1）（2n+3）}$=$\frac{1}{2}（\frac{1}{2n+1}-\frac{1}{2n+3}）$，再利用“裂项求和”方法即可得出．

解答 解：（I）∵点P_n（n，S_n）都在函数f（x）=x²+2x的图象上，∴S_n=n²+2n，
n=1时，a₁=3；n≥2，a_n=S_n-S_n-1=n²+2n-[（n-1）²+2（n-1）]=2n+1．
当n=1时上式也成立，∴a_n=2n+1．
（II）f′（x）=2x+2，过点P_n（n，S_n）的切线的斜率为k．
∴k_n=2n+2．∴b_n=$\frac{1}{{a}_{n}•（{k}_{n}+1）}$=$\frac{1}{（2n+1）（2n+3）}$=$\frac{1}{2}（\frac{1}{2n+1}-\frac{1}{2n+3}）$，
∴数列{b_n}的前n项和T_n=$\frac{1}{2}[（\frac{1}{3}-\frac{1}{5}）$+$（\frac{1}{5}-\frac{1}{7}）$+…+$（\frac{1}{2n+1}-\frac{1}{2n+3}）]$
=$\frac{1}{2}（\frac{1}{3}-\frac{1}{2n+3}）$=$\frac{n}{6n+9}$．

点评 本题考查了等差数列与等比数列的通项公式与求和公式、数列递推关系、“裂项求和”方法、导数的几何意义、函数的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．