Question

8．在四面体ABCD中，三组对棱两两相等，分别为$\sqrt{13}$，$\sqrt{10}$，$\sqrt{5}$，则该四面体外接球的表面积为14π．

Answer 1

分析 构造长方体，使得面上的对角线长分别为$\sqrt{13}$，$\sqrt{10}$，$\sqrt{5}$，则长方体的对角线长等于四面体外接球的直径，即可求出四面体外接球的表面积．

解答 解：∵四面体ABCD的三组对棱两两相等，分别为$\sqrt{13}$，$\sqrt{10}$，$\sqrt{5}$，
∴构造长方体，使得面上的对角线长分别为$\sqrt{13}$，$\sqrt{10}$，$\sqrt{5}$，
则长方体的对角线长等于四面体外接球的直径．
设长方体的棱长分别为x，y，z，则x²+y²=13，y²+z²=10，x²+z²=5，
∴x²+y²+z²=14
∴四面体外接球的直径为$\sqrt{14}$，
∴四面体外接球的表面积为4$π•（\frac{\sqrt{14}}{2}）^{2}$=14π．
故答案为：14π．

点评 本题考查球内接多面体，考查学生的计算能力，构造长方体，利用长方体的对角线长等于四面体外接球的直径是关键．