Question

已知四棱锥中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD是边长为a的菱形，∠BAD=120°，PA=b．
（I）求证：平面PBD⊥平面PAC；
（II）设AC与BD交于点O，M为OC中点，若二面角O-PM-D的正切值为2

6

，求a：b的值．

Answer 1

分析：（I）根据线面垂直的判定，证明BD⊥平面PAC，利用面面垂直的判定，证明平面PBD⊥平面PAC．
（II）过O作OH⊥PM交PM于H，连HD，则∠OHD为A-PM-D的平面角，利用二面角O-PM-D的正切值为2

6

，即可求a：b的值．

解答：（I）证明：因为PA⊥平面ABCD，所以PA⊥BD
又ABCD为菱形，所以AC⊥BD，
因为PA∩AC=A，所以BD⊥平面PAC
因为BD?平面PBD，所以平面PBD⊥平面PAC．
（II）解：过O作OH⊥PM交PM于H，连HD

因为DO⊥平面PAC，由三垂线定理可得DH⊥PM，所以∠OHD为A-PM-D的平面角
又OD=

3

2

a，OM=

a

4

，AM=

3a

4

，且

OH

OM

=

AP

PM

从而OH=

b

b2+ 9 16 a2

•

a

4

=

ab

16b2+9a2

∴tan∠OHD=

OD

OH

=

3(16b2+9a2)

2b

=2

6

所以9a²=16b²，即

a

b

=

4

3

．

点评：本题考查线面垂直、面面垂直的判定，考查面面角，解题的关键是掌握线面垂直、面面垂直的判定，作出面面角．