Question

如果存在常数a使得数列{a_n}满足：若x是数列{a_n}中的一项，则a-x也是数列{a_n}中的一项，称数列{a_n}为“兑换数列”，常数a是它的“兑换系数”．
（1）若数列：1，2，4，m（m＞4）是“兑换系数”为a的“兑换数列”，求m和a的值；
（2）若有穷递增数列{b_n}是“兑换系数”为a的“兑换数列”，求证：数列{b_n}的前n项和Sn=

n

2

•a；
（3）已知有穷等差数列{c_n}的项数是n₀（n₀≥3），所有项之和是B，试判断数列{c_n}是否是“兑换数列”？如果是的，给予证明，并用n₀和B表示它的“兑换系数”；如果不是，说明理由．

Answer 1

分析：（1）根据数列：1，2，4，m（m＞4）是“兑换系数”为a的“兑换数列”，可得a-m，a-4，a-2，a-1也是该数列的项，且a-m＜a-4＜a-2＜a-1，由此可求m和a的值；
（2）不妨设有穷数列{b_n}的项数为n，根据有穷数列{b_n}是“兑换系数”为a的“兑换数列”，可得b_i+b_n+1-i=a（1≤i≤n），从而可得数列{b_n}的前n项和；
（3）证明对数列{c_n}中的任意一项c_i（1≤i≤n₀）a-ci=c1+(n0-i)d=cn0+1-i∈{cn}即可．

解答：（1）解：因为数列：1，2，4，m（m＞4）是“兑换系数”为a的“兑换数列”
所以a-m，a-4，a-2，a-1也是该数列的项，且a-m＜a-4＜a-2＜a-1----------（1分）
故a-m=1，a-4=2-------------------（3分）
即a=6，m=5．-------------------（4分）
（2）证明：不妨设有穷数列{b_n}的项数为n
因为有穷数列{b_n}是“兑换系数”为a的“兑换数列”，所以a-b_n，a-b_n-1，…，a-b₁也是该数列的项，-----（5分）
又因为数列{b_n}是递增数列b₁＜b₂＜…＜b_n，且a-b_n＜a-b_n-1＜…＜a-b₁-------------------（6分）
则b_i+b_n+1-i=a（1≤i≤n）-------------------（8分）
故Sn=b1+b2+…+bn=

n

2

a-------------------（10分）
（3）解：数列{c_n}是“兑换数列”．证明如下：
设数列{c_n}的公差为d，因为数列{c_n}是项数为n₀项的有穷等差数列
若c1≤c2≤c3≤…≤cn0，则a-c1≥a-c2≥a-c3≥…≥a-cn0
即对数列{c_n}中的任意一项c_i（1≤i≤n₀）a-ci=c1+(n0-i)d=cn0+1-i∈{cn}-------（12分）
同理可得：若c1≥c2≥c3≥…≥cn0，a-ci=c1+(n0-i)d=cn0+1-i∈{cn}也成立，
由“兑换数列”的定义可知，数列{c_n}是“兑换数列”；-------------------（14分）
又因为数列{b_n}所有项之和是B，所以B=

(c1+cn0)•n0

2

=

a•n0

2

，即a=

2B

n0

-------------------（18分）

点评：本题考查新定义，考查学生的阅读能力，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．