Question

11．已知数列{a_n}的前n项和为S_n，且a₁=2，na_n+1=2（n+1）a_n
（1）记b_n=$\frac{{a}_{n}}{n}$，求数列{b_n}的通项b_n；      
（2）求通项a_n及前n项和S_n．

Answer 1

分析 （1）由na_n+1=2（n+1）a_n⇒$\frac{{a}_{n+1}}{n+1}=2×\frac{{a}_{n}}{n}$，即b_n+1=2b_n．
（2）由（1）得a_n=nb_n=n•2ⁿ．错位相减法求和即可．

解答 解：（1）因为na_n+1=2（n+1）a_n
所以$\frac{{a}_{n+1}}{n+1}=2×\frac{{a}_{n}}{n}$，即b_n+1=2b_n
所以{b_n}是以b₁=2为首项，公比q=2的等比数列．
所以数列{b_n}的通项b_n=2×2^n-1=2ⁿ．
（2）由（1）得a_n=nb_n=n•2ⁿ．
所以  s_n=1•2+2•2²+3•2³+…+（n-1）2^n-1+n•2ⁿ．；
       2 s_n=1•2²+2•2³+3•2⁴+…+（n-1）2ⁿ+n•2ⁿ⁺¹．；
所以-s_n=2+2²+2³+2⁴+…+2ⁿ-n•2ⁿ⁺¹=$\frac{2（1-{2}^{n}）}{1-2}-n•{2}^{n+1}$．
所以s_n=（n-1）•2ⁿ⁺¹+2

点评 本题考查了等比数列的判定，及错位相减法求和，属于中档题．