【题目】已知函数(
,
),曲线
在
处的切线方程为
.
(Ⅰ)求,
的值;
(Ⅱ)证明: ;
(Ⅲ)已知满足的常数为
.令函数
(其中
是自然对数的底数,
),若
是
的极值点,且
恒成立,求实数
的取值范围.
【答案】(1),
.(2)详见解析;(3)
【解析】试题分析:
(1)由导函数与切线方程的关系可得,
.
(2)利用题意构造新函数
,结合新函数的性质即可证得
;
(3)由题意,
当时,
无极值,不符合题意;
当时,
是函数
的唯一极值点,也是它的唯一最大值点,可得
.
由题意考察函数,可得
的取值范围是
.
试题解析:
(Ⅰ)的导函数
,
由曲线在
处的切线方程为
,知
,
,
所以,
.
(Ⅱ)令
,则
,
当时,
,
单调递减;当
时,
,
单调递增,
所以,当时,
取得极小值,也即最小值,该最小值为
,
所以,即不等式
成立.
(Ⅲ)函数(
),则
,
当时,
,函数
在
内单调递增,
无极值,不符合题意;
当时,由
,得
,
结合,
在
上的图象可知,关于
的方程
一定有解,其解为
(
),且当
时,
,
在
内单调递增;当
时,
,
在
内单调递减.
则是函数
的唯一极值点,也是它的唯一最大值点,
也是
在
上的唯一零点,即
,则
.
所以
.
由于恒成立,则
,即
,(*)
考察函数,则
,
所以为
内的增函数,且
,
,
又常数满足
,即
,
所以, 是方程
的唯一根,
于是不等式(*)的解为,
又函数(
)为增函数,故
,
所以的取值范围是
.
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【题目】某理财公司有两种理财产品和
.这两种理财产品一年后盈亏的情况如下(每种理财产品的不同投资结果之间相互独立):
产品
产品(其中
)
(Ⅰ)已知甲、乙两人分别选择了产品和产品
进行投资,如果一年后他们中至少有一人获利的概率大于
,求
的取值范围;
(Ⅱ)丙要将家中闲置的10万元钱进行投资,以一年后投资收益的期望值为决策依据,在产品和产品
之中选其一,应选用哪个?
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【题目】如图,正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1,P为BC的中点,Q为线段CC1上的动点,过点A,P,Q的平面截该正方体所得的截面记为S. ①当 时,S为四边形
②截面在底面上投影面积恒为定值
③不存在某个位置,使得截面S与平面A1BD垂直
④当 时,S与C1D1的交点满足C1R1=
其中正确命题的个数为 ( )
A.1
B.2
C.3
D.4
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【题目】已知椭圆 +y2=1的左右焦点分别为F1 , F2 , 直线l过椭圆的右焦点F2与椭圆交于A,B 两点, (Ⅰ)当直线l的斜率为1,点P为椭圆上的动点,满足使得△ABP的面积为
的点P有几个?并说明理由.
(Ⅱ)△ABF1的内切圆的面积是否存在最大值?若存在,求出这个最大值及此时直线l的方程,若不存在,请说明理由.
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【题目】已知关于x的二次方程x2+2mx+2m+1=0.
(1)若方程有两个正根,求m的取值范围.
(2)若方程有两根,其中一根在区间(﹣1,0)内,另一根在区间(1,3)内,求m的取值范围.
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【题目】支篮球队进行单循环比赛(任两支球队恰进行一场比赛),任两支球队之间胜率都是
.单循环比赛结束,以获胜的场次数作为该队的成绩,成绩按从大到小排名次顺序,成绩相同则名次相同.有下列四个命题:
:恰有四支球队并列第一名为不可能事件;
:有可能出现恰有两支球队并列第一名;
:每支球队都既有胜又有败的概率为
;
:五支球队成绩并列第一名的概率为
.
其中真命题是
A. ,
,
B.
,
,
C.
.
.
D.
.
.
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