Question

如图，ABCD是正方形，DE⊥平面ABCD．
（1）求证：AC⊥平面BDE；
（2）若AF∥DE，DE=3AF，点M在线段BD上，且BM=

1

3

BD，求证：AM∥平面 BEF．

Answer 1

考点：直线与平面平行的判定,直线与平面垂直的判定

专题：空间位置关系与距离

分析：（1）证明DE⊥AC，通过直线与平面垂直的判定定理证明AC⊥平面BDE．
（2）延长EF、DA交于点G，通过AF∥DE，DE=3AF，推出

BM

BD

=

GA

GD

=

1

3

，证明AM∥GB利用直线与平面平行的判定定理证明AM∥平面BEF．

解答： 证明：（1）因为DE⊥平面ABCD，所以DE⊥AC．…（2分）
因为ABCD是正方形，所以AC⊥BD，又BD∩DE=D，
从而AC⊥平面BDE．…（5分）
（2）延长EF、DA交于点G，
因为AF∥DE，DE=3AF，
所以

GA

GD

=

AF

DE

=

1

3

，…（7分）
因为BM=

1

3

BD，所以

BM

BD

=

1

3

，
所以

BM

BD

=

GA

GD

=

1

3

，所以AM∥GB，…（10分）
又AM?平面BEF，GB?平面BEF，
所以AM∥平面BEF．…（12分）

点评：本题考查直线与平面垂直的判定定理以及直线与平面平行的判定定理的应用，考查空间想象能力以及逻辑推理能力．