Question

已知抛物线过点A（-1，0），B（1，0），且以圆x²+y²=4的切线为准线，则抛物线的焦点的轨迹方程（ ）
A．+=1（y≠0）
B．+=1（y≠0）
C．-=1（y≠0）
D．-=1（y≠0）

Answer 1

【答案】分析：设出切线方程，表示出圆心到切线的距离求得a和b的关系，再设出焦点坐标，根据抛物线的定义求得点A，B到准线的距离等于其到焦点的距离，然后两式平方后分别相加和相减，联立后，即可求得x和y的关系式．
解答：解：设切线ax+by-1=0，则圆心到切线距离等于半径
∴=2
∴，
∴a²+b²=
设抛物线焦点为（x，y），根据抛物线定义可得

平方相加得：x²+1+y²=4（a²+1）①
平方相减得：x=4a，
∴②
把②代入①可得：x²+1+y²=4（+1）
即：
∵焦点不能与A，B共线
∴y≠0
∴
∴抛物线的焦点轨迹方程为
故选B．
点评：本题以圆为载体，考查抛物线的定义，考查轨迹方程，解题时利用圆的切线性质，抛物线的定义是关键．