Question

【题目】在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C所对边的边长，且C＝，a＋b＝λc(其中λ>1)．

(1)若λ＝时，证明：△ABC为直角三角形；

(2)若·＝λ2，且c＝3，求λ的值．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）2

【解析】

(1)利用正弦定理化简a＋b＝λc即得B＝或B＝,分析得到△ABC为直角三角形.(2)化

简·＝λ2得ab＝λ2，再结合余弦定理得到关于λ的值，解方程即得λ的值.

(1)证明：因为λ＝，所以a＋b＝c，由正弦定理得sin A＋sin B＝sin C，

因为C＝，所以sin B＋sin＝，所以sin B＋cos B＝，则sin＝，所以B＋＝或B＋＝，B＝或B＝.

若B＝，则A＝，△ABC为直角三角形；

若B＝，△ABC亦为直角三角形．

（2）解：若·＝λ2，则a·b＝λ2，所以ab＝λ2.

又a＋b＝3λ，由余弦定理知a2＋b2－c2＝2abcos C，即a2＋b2－ab＝c2＝9，即(a＋b)2－3ab＝9，故9λ2－λ2＝λ2＝9，λ2＝4，即λ＝2.