Question

（2013•广元一模）非空集合G关于运算?满足：①对任意a、b∈G，都有a?b∈G：；②存在e∈G，对一切a∈G，都 有a?e=e?a=a，则称G关于运算?为“和谐集”，现给出下列集合和运算：
①G={非负整数}，?为整数的加法；
②G={偶数}，?为整数的乘法；
③G={平面向量}，?为平面向量的加法；
④G={二次三项式}，?为多项式的加法．
其中关于运算?为“和谐集”的是

①③

（写出所有“和谐集”的序号）．

Answer 1

分析：利用G关于运算?为“和谐集”的定义，分别对四个集合及相应的运算验证两点：①对任意a、b∈G，都有a?b∈G：；②存在e∈G，对一切a∈G，都 有a?e=e?a=a，

解答：解：对于①，a、b∈{非负整数}，都有a+b∈{非负整数}并且a+0=0+a=a，所以①中的G关于运算+为“和谐集”，
对于②，对任意a、b∈{偶数}，都有ab∈{偶数}，但不存在e∈{偶数}，对一切a∈{偶数} 有ae=ea=a，所以②中的G关于运算乘法不为“和谐集”，
对于③，对任意

a

，

b

∈{平面向量}，都有

a

+

b

∈{平面向量}，并且

a

+

0

=

0

+

a

=

a

，所以③中的G关于运算+为“和谐集”，
对于④，对任意a、b∈{二次三项式}，不一定有a+b∈{二次三项式}，所以④中的G关于运算乘法不为“和谐集”，
故答案为①③

点评：本题考查解决新定义的关键是弄明白题目中所给的定义必须满足的条件，新定义题是近几年高考常考的题型．