Question

8．如图，椭圆C₁：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞0，b＞0）和圆C₂：x²+y²=b²，已知圆C₂将椭圆C₁的长轴三等分，且圆C₂的面积为π，椭圆C₁的下顶点为E，过坐标原点O且与坐标轴不重合的任意直线l与圆C₂相交于点A、B，直线EA、EB与椭圆C₁的另一个交点分别是点P、M．
（1）求椭圆C₁的方程；
（2）求△EPM面积最大值．

Answer 1

分析 （1）利用已知条件，求出椭圆的几何量，然后求出椭圆方程．
（2）求出三角形的面积，利用换元法以及基本不等式求出最值即可．

解答 解：（1）依题意，b=1，则a=3b．∴椭圆方程为$\frac{x^2}{9}+{y^2}=1$．
（2）（Ⅰ）由题意知直线PE，ME的斜率存在且不为0，PE⊥ME，不妨设直线PE的斜率为k（k＞0），
则PE：y=kx-1．
由$\left\{{\begin{array}{l}{y=kx-1}\\{\frac{x^2}{9}+{y^2}=1}\end{array}}\right.$，得$\left\{{\begin{array}{l}{x=\frac{18k}{{9{k^2}+1}}}\\{y=\frac{{9{k^2}-1}}{{9{k^2}+1}}}\end{array}}\right.$，或$\left\{{\begin{array}{l}{x=0}\\{y=-1}\end{array}}\right.$，
∴$P（\frac{18k}{{9{k^2}+1}}，\frac{{9{k^2}-1}}{{9{k^2}+1}}）$．
用$-\frac{1}{k}$代替k，得$|PE|=\sqrt{{{（\frac{18k}{{9{k^2}+1}}）}^2}+{{（\frac{{18{k^2}}}{{9{k^2}+1}}）}^2}}=\frac{18k}{{9{k^2}+1}}\sqrt{1+{k^2}}$，
$|EM|=\frac{{18\frac{1}{k}}}{{9\frac{1}{k^2}+1}}\sqrt{1+\frac{1}{k^2}}=\frac{18}{{9+{k^2}}}\sqrt{1+{k^2}}$，
∴${S_{△EPM}}=\frac{1}{2}\frac{18k}{{9{k^2}+1}}\sqrt{1+{k^2}}\frac{18}{{9+{k^2}}}\sqrt{1+{k^2}}=\frac{{162k（1+{k^2}）}}{{（9+{k^2}）（1+9{k^2}）}}$
=$\frac{{162（k+{k^3}）}}{{9{k^4}+82{k^2}+9}}=\frac{{162（\frac{1}{k}+k）}}{{9{k^2}+\frac{9}{k^2}+82}}$．
设$k+\frac{1}{k}=μ$，则${S_{△EPM}}=\frac{162μ}{{82+9（{μ^2}-2）}}=\frac{162}{{9μ+\frac{64}{μ}}}≤\frac{162}{{2\sqrt{9μ•\frac{64}{μ}}}}=\frac{27}{8}$．当且仅当$k+\frac{1}{k}=\frac{8}{3}$时取等号．

点评 本题考查直线与椭圆综合应用，椭圆方程的求法，基本不等式的应用，考查分析问题解决问题的能力．