Question

17．数列{a_n}中，a₁=-$\frac{2}{3}$，当n＞1，n∈N^*时，S_n+$\frac{1}{{S}_{n}}$=a_n-2
（1）求S₁，S₂，S₃的值；
（2）猜想S_n的表达式，并证明你的猜想．

Answer 1

分析 （1）由S_n+$\frac{1}{{S}_{n}}$=S_n-S_n-1-2可得S_n=-$\frac{1}{{S}_{n-1}+2}$，从而求S₁，S₂，S₃的值；
（2）猜想S_n=-$\frac{n+1}{n+2}$，利用数学归纳法证明即可．

解答 解：（1）S₁=a₁=-$\frac{2}{3}$，
∵S_n+$\frac{1}{{S}_{n}}$=S_n-S_n-1-2，
∴S_n=-$\frac{1}{{S}_{n-1}+2}$
∴S₂=-$\frac{1}{-\frac{2}{3}+2}$=-$\frac{3}{4}$，
S₃=-$\frac{1}{-\frac{3}{4}+2}$=-$\frac{4}{5}$；
（2）猜想S_n=-$\frac{n+1}{n+2}$，证明如下，
当n=1，2，3时，S_n=-$\frac{n+1}{n+2}$成立；
假设S_n=-$\frac{n+1}{n+2}$成立，
则S_n+1=-$\frac{1}{{S}_{n}+2}$
=-$\frac{1}{-\frac{n+1}{n+2}+2}$=-$\frac{n+2}{n+3}$=-$\frac{（n+1）+1}{（n+2）+1}$；
故猜想S_n=-$\frac{n+1}{n+2}$成立．

点评 本题考查了数列递推公式的化简与应用及数学归纳法的应用，属于中档题．