Question

已知定义在（0，+∞）上的函数f（x）满足（1）x＞1时，f（x）＜0；（2）f（）=1；（3）对任意的x、y∈（0，+∞），都有f（xy）=f（x）+f（y），求不等式f（x）+f（5-x）≥-2的解集．

Answer 1

解：需先研究y=f（x）的单调性，任取x₁、x₂∈（0，+∞）且x₁＞x₂，则＞1．
f（x₁）=f（•x₂）=f（）+f（x₂），
∴f（x₁）-f（x₂）=f（）＜0．
∴f（x）在（0，+∞）上为减函数．
又f（1）=f（1）+f（1），则f（1）=0．
又∵f（1）=f（2）+f（）=f（2）+1=0．
∴f（2）=-1．∴f（4）=2f（2）=-2．
∴原不等式等价于
解得{x|0＜x≤1或4≤x＜5}．
分析：利用条件（1）（3）推出函数在（0，+∞）上单调递减，注意到f（4）=-2，利用函数的单调性解出不等式．
点评：本题考查抽象函数的单调性以及不等式的简单应用，解题的关键是抽象函数的性质的运用，属于基础题．