Question

如图，在直角梯形ABCD中，∠BAD=90°，AD∥BC，AB=2，AD=

3

2

，BC=

1

2

，椭圆以A、B为焦点且经过点D．
（Ⅰ）建立适当的直角坐标系，求椭圆的方程；
（Ⅱ）以该椭圆的长轴为直径作圆，判断点C与该圆的位置关系．

Answer 1

分析：（I）先以AB所在直线为x轴，AB中垂线为y轴建立直角坐标系，进而可知A，B的坐标，设椭圆的标准方程，根据AB的距离求得c，把x=c代入椭圆方程，求得

b2

a

=

3

2

，进而根据a，b和c的关系求得a和b，则椭圆的方程可得．
（II）以该椭圆的长轴为直径作圆，求出点C到圆心的距离，与a比较即可判断点C与该圆的位置关系．

解答：解：（Ⅰ）如图，以AB所在直线为x轴，
AB中垂线为y轴建立直角坐标系，⇒A（-1，0），B（1，0）．
设椭圆方程为

x2

a2

+

y2

b2

=1．
令 x=c⇒y0=

b2

a

，
∴

C=1 b2 a = 3 2

⇒

a=2 b= 3

．
∴椭圆C的方程是：

x2

4

+

y2

3

=1；
（Ⅱ） 点C到原点的距离为：
|OC|=

1 4 +1

=

5

2

＜ 2=a
∴点C在圆内．

点评：本题主要考查了椭圆的标准方程和直线与椭圆的关系．考查了学生转化和化归的数学思想，基本的运算能力．