Question

如图所示为函数f（x）=2cos（ωx+φ）（ω＞0，0≤φ≤π）的部分图象，其中|

AB

|=5（A、B分别为函数图象上的最高点、最低点），f（0）=1那么直线AB与函数f（x）的图象围成的封闭图形的面积为（　　）

• A．0
• B．

  12

  π

  -3
• C．

  12

  π

  +3
• D．以上都不对

Answer 1

分析：先确定函数的周期，由图可知|

AB

|=5，AB间的纵向距离为4，故可由勾股定理计算AB间的横向距离，即半个周期，进而得ω值，再利用函数图象过点（0，1），且此点在减区间上，代入函数解析式即可计算φ值．然后利用定积分求出区域面积．

解答：解：由图可知函数的振幅为2，半周期为AB间的横向距离，

T

2

=

52-42

=3，
∴T=6，即

2π

ω

=6
∴ω=

π

3

由图象知函数过点（0，1）
∴1=2cosφ
∴φ=2kπ+

π

3

，k∈Z
∵0≤φ≤π
∴φ=

π

3

，函数的解析式为：f（x）=2cos（

π

3

x+

π

3

），A（-1，2），B（2，-2）
直线AB的方程：

y-2

2+2

=

x+1

-1-2

，即y=-

4

3

x+

2

3

，
直线AB与函数f（x）的图象围成的封闭图形的面积为2

∫

1 2 -1

[2cos(

π

3

x+

π

3

)+

4

3

x-

2

3

]dx
=2[

6

π

sin(

π

3

x+

π

3

) +

2

3

x2-

2

3

x] 

|

1 2 -1

=2[

6

π

sin(

π

3

×

1

2

+

π

3

) +

2

3

(

1

2

)2-

2

3

×

1

2

]-2[

6

π

sin(

π

3

×(-1)+

π

3

) +

2

3

(-1)2-

2

3

×(-1)]
=

12

π

-3．
故选B．

点评：本题考查了三角函数的图象和性质，由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式的方法，三角函数周期的求法，定积分的求法．考查计算能力．