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    已知离心率为
    		2
    2
    的椭圆C：
    x2
    a2
    +
    y2
    b2
    =1（a＞b＞0）过点M（
    		6
    ，1），O为坐标原点．
    （1）求椭圆C的方程；
    （2）已知直线l与椭圆C交于不同的两点A、B，若直线l是圆O：x2+y2=
    8
    3
    的一条切线，试证明∠AOB=
    π
    2
    ．它的逆命题成立吗？若成立，请给出证明；否则，请说明理由．
    分析：（1）因为椭圆C：
    x2
    a2
    +
    y2
    b2
    =1（a＞b＞0）过点M（
    		6
    ，1），且离心率为
    		2
    2
    ，所以
    c
    a
    =
    		2
    2
    a2=b2+c2
    6
    a2
    +
    1
    b2
    =1
    ，曲此能得到椭圆C的方程．
    （2）若直线l的斜率存在，则设直线l的方程为y=kx+m，直线l与椭圆C交于不同的两点A（x1，y1），B（x2，y2），由直线l与圆O相切得r=
    |m|
    		1+k2
    ，联立方程组
    y=kx+m
    x2
    8
    +
    y2
    4
    =1
    ，得x2+2（kx+m）2=8，再由根与系数的关系和根的判别能够推导出∠AOB=
    π
    2
    ．逆命题：已知直线l与椭圆C交于不同的两点A、B，若∠AOB=
    π
    2
    ，则直线l是圆O：x2+y2=
    8
    3
    的一条切线．结论成立．再进行证明．
    解答：解：（1）因为椭圆C：
    x2
    a2
    +
    y2
    b2
    （a＞b＞0）过点M（
    		6
    ，1），且离心率为
    		2
    2
    ，
    所以
    c
    a
    =
    		2
    2
    a2=b2+c2
    6
    a2
    +
    1
    b2
    =1
    ，
    解得
    a2=8
    b2=4
    c2=4
    ，
    故椭圆C的方程为
    x2
    8
    +
    y2
    4
    =1．
    （2）若直线l的斜率存在，则设直线l的方程为y=kx+m，直线l与椭圆C交于不同的两点A（x1，y1），B（x2，y2），
    由直线l与圆O相切得r=
    |m|
    		1+k2
    ，即r2=
    m2
    1+k2
    =
    8
    3
    ．
    联立方程组
    y=kx+m
    x2
    8
    +
    y2
    4
    =1
    ，得x2+2（kx+m）2=8，
    即（1+2k2）x2+4kmx+2m2-8=0，
    则△=16k2m2-4（1+2k2）（2m2-8）=8（8k2-m2+4）＞0，即8k2-m2+4＞0．由方程根与系数的关系得：
    x1+x2=
    4km
    1+2k2
    x1x2=
    2m2-8
    1+2k2
    ，
    从而y1y2=（kx1+m）（kx2+m）=k2x1x2+km（x1+x2）+m2
    =
    k2(2m2-8)
    1+2k2
    -
    4k2m2
    1+2k2
    +m2=
    m2-8k2
    1+2k2
    ．
    要证∠AOB=
    π
    2
    ，即
    OA
    ⊥
    OB
    ，只需证x1x2+y1y2=0，
    即证
    2m2-8
    1+2k2
    +
    m2-8k2
    1+2k2
    =0，即证3m2-8k2-8=0，而
    m2
    1+k2
    =
    8
    3
    ，
    所以3m2-8k2-8=0成立．即∠AOB=
    π
    2
    ．
    而当直线l的斜率不存在时，直线l为x=±
    2
    		6
    3
    ，
    此时直线l与椭圆
    x2
    8
    +
    y2
    4
    =1的两个交点为（
    2
    		6
    3
    ，±
    2
    		6
    3
    ）或（-
    2
    		6
    3
    ，±
    2
    		6
    3
    ），
    满足
    OA
    ⊥
    OB
    ．综上，有∠AOB=
    π
    2
    ．
    逆命题：已知直线l与椭圆C交于不同的两点A、B，若∠AOB=
    π
    2
    ，则直线l是圆O：x2+y2=
    8
    3
    的一条切线．结论成立．
    证明：当直线l的斜率存在时，设直线l：y=kx+m，直线l与椭圆C：
    x2
    8
    +
    y2
    4
    =1的两个交点为A（x1，y1），B（x2，y2），联立方程组
    y=kx+m
    x2
    8
    +
    y2
    4
    =1
    ，
    得x2+2（kx+m）2=8，即（1+2k2）x2+4kmx+2m2-8=0，
    则△=16k2m2-4（1+2k2）（2m2-8）=8（8k2-m2+4）＞0，即8k2-m2+4＞0，由方程根与系数的关系得：
    x1+x2=
    4km
    1+2k2
    x1x2=
    2m2-8
    1+2k2
    ，
    则y1y2=（kx1+m）（kx2+m）=k2x1x2+km（x1+x2）+m2
    =
    k2(2m2-8)
    1+2k2
    -
    4k2m2
    1+2k2
    +m2=
    m2-8k2
    1+2k2
    ．
    由∠AOB=
    π
    2
    知，
    OA
    ⊥
    OB
    ，
    即x1x2+y1y2=0，即
    2m2-8
    1+2k2
    +
    m2-8k2
    1+2k2
    =0，
    所以3m2-8k2-8=0．因为圆心到直线l的距离d=
    |m|
    		1+k2
    ，
    则d2=
    m2
    1+k2
    =
    m2
    1+
    3m2-8
    8
    =
    8
    3
    ，而r2=
    8
    3
    ，此时直线y=kx+m与圆O相切．
    当直线l的斜率不存在时，由
    OA
    ⊥
    OB
    可以计算得到直线l与椭圆
    x2
    8
    +
    y2
    4
    =1的两个交点为（
    2
    		6
    3
    ，±
    2
    		6
    3
    ）或
    （-
    2
    		6
    3
    ，±
    2
    		6
    2
    ），
    此时直线l为x=±
    2
    		6
    3
    ．满足圆心到直线的距离等于半径，即直线与圆相切．
    综上，其逆命题成立．
    点评：本题考查椭圆方程的求法和直线与圆锥曲线的位置关系，解题时要认真审题，合理地进行等价转化．
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    相关习题

    科目：高中数学 来源： 题型：

    已知离心率为
    		2
    2
    的椭圆C：
    x2
    a2
    +
    y2
    b2
    =1（a＞b＞0）过点M（
    		6
    ，1，O是坐标原点．
    （1）求椭圆C的方程；
    （2）已知点A、B为椭圆C上相异两点，且
    OA
    ⊥
    OB
    ，判定直线AB与圆O：x2+y2=
    8
    3
    的位置关系，并证明你的结论．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    已知离心率为
    		2
    2
    的椭圆C：
    x2
    a2
    +
    y2
    b2
    =1  (a＞b＞0)    过点M(
    		6
    ，1)    ，O为坐标原点
    （1）求椭圆方程
    （2）已知直线l与椭圆C交于不同的两点A，B，若直线l是圆O：x2+y2=
    8
    3
    的一条切线，求证：∠AOB=
    π
    2
    ．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    （2012•德阳三模）已知离心率为
    		2
    2
    的椭圆C：
    x2
    a2
    +
    y2
    b2
    =1(a＞b＞0)    过点M(
    		6
    ，1)    ．
    （1）求椭圆C的方程；
    （2）已知与圆x2+y2=
    8
    3
    相切的直线l与椭圆C相交于不同两点A、B，O为坐标原点，求
    OA
    •
    OB
    的值．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    （2010•宿州三模）已知离心率为
    		2
    2
    的椭圆C：
    x2
    a2
    +
    y2
    b2
    =1(a＞b＞0)    的左焦点为F，上顶点为E，直线EF截圆x2+y2=1所得弦长为
    		2
    ．
    （1）求椭圆C的方程；
    （2）过D（-2，0）的直线l与椭圆C交于不同的两点A、B，
    AB
    =2
    AM
    ．试探究
    |MD|
    |MA|
    的取值范围．

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