Question

设递增等差数列{a_n}的前n项和为S_n，已知a₃=1，a₄是a₃和a₇的等比中项，
（I）求数列{a_n}的通项公式；
（II）求数列{a_n}的前n项和S_n．

Answer 1

分析：（Ⅰ）设等差数列{a_n}的首项为a₁，公差为d（d＞0），由a₃=1，a₄是a₃和a₇的等比中项列方程组，然后求解等差数列的首项和公差，则通项公式可求；
（Ⅱ）直接代入等差数列的前n项和公式即可．

解答：解：（Ⅰ）设等差数列{a_n}的首项为a₁，公差为d（d＞0），
由a₃=1得，a₁+2d=1①，由a₄是a₃和a₇的等比中项得，(a1+3d)2=(a1+2d)(a1+6d)②，
整理②得，2a1d+3d2=0，因为d＞0，所以2a₁+3d=0③，
联立①③得：a₁=-3，d=2．
所以a_n=a₁+（n-1）d=-3+2（n-1）=2n-5．
（Ⅱ）数列{a_n}的前n项和S_n=na1+

n(n-1)d

2

=-3n+

2n(n-1)

2

=n²-4n．

点评：本题考查了等差数列的通项公式，考查了等比中项的概念，考查了等差数列的前n项和，是基础题．