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【题目】已知函数f(x)=x2+(x2-3x)lnx

(1)求函数f(x)x=e处的切线方程

(2)对任意的x)都存在正实数a,使得方程f(x)=a至少有2个实根, a的最小值

【答案】(1)(5e-6)x-y-3e2+3e=0(2)1

【解析】分析:(1)求出,由的值可得切点坐标,由的值,可得切线斜率,利用点斜式可得曲线在点处的切线方程;(2)首先可得是方程的根,只需方程另外至少一个根即可,利用导数研究函数的单调性,结合函数图象,可得函数的极值与最值,从而可得的最大值.

详解:(1)f/(x)=3x-3+(2x-3)lnx k=f/(e)=5e-6切点为:(e,2-3e)

切线方程为: y-2+3e=(5e-6)(x-e) (5e-6)x-y-3+3e=0

(2)令f/(x)=0 3x-3+(2x-3)lnx=0 显然x=1是方程的根

f//(x)=2lnx 易知f//(x)在(0,)上递增,容易验证f//()=3-3e f//(1), 存在x1使得f//(x1)=0

所以当x1)时,f//(x) f/(x)递减,

x1,时,f//(x) f/(x)递增

f/(x1)/(1)=0,又f()=,故存在x2x1)使得f/(x2) =0,列出下表:

x

(0,x2)

x2

(x2,1)

1

(1,)

f/(x)

+

0

-

0

+

f(x)

极大值

极小值

所以f(x)x=x2处取极大值;在处取得极小值.f(1)=1;x0f(x)

作出f(x)的示意图可知: a的最小值为1

练习册系列答案
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(1)求的值;

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(Ⅰ)视分布在各区间内的频率为相应的概率,求

Ⅱ)将表示为的函数,求出该函数表达式;

Ⅲ)在频率分布直方图的市场需求量分组中,以各组的区间中点值(组中值代表该组的各个值,并以市场需求量落入该区间的频率作为市场需求量取该组中值的概率(例如则取的概率等于市场需求量落入的频率),的分布列及数学期望

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付款方式

分3期

分6期

分9期

分12期

频数

20

20

(1)若以上表计算出的频率近似替代概率,从该店采用分期付款购车的顾客(数量较大)中随机抽取3为顾客,求事件:“至多有1位采用分6期付款“的概率

(2)按分层抽样方式从这100为顾客中抽取5人,再从抽取的5人中随机抽取3人,记该店在这3人身上赚取的总利润为随机变量,求的分布列和数学期望.

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②存在某个位置,使;

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正确的个数是()

A. B. C. D.

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