Question

【题目】△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知2a= csinA﹣acosC．
（1）求C；
（2）若c= ，求△ABC的面积S的最大值．

Answer 1

【答案】
（1）∵2a= csinA﹣acosC，

∴由正弦定理可得：2sinA= sinCsinA﹣sinAcosC，

∵sinA≠0，

∴可得：2= sinC﹣cosC，解得：sin（C﹣ ）=1，

∵C∈（0，π），可得：C﹣ ∈（﹣ ， ），

∴C﹣ = ，可得：C=

（2）∵由（1）可得：cosC=﹣ ，

∴由余弦定理，基本不等式可得：3=b2+a2+ab≥3ab，即：ab≤1，（当且仅当b=a时取等号）

∴S△ABC= absinC= ab≤ ，可得△ABC面积的最大值为

【解析】（1）由正弦定理，三角函数恒等变换的应用化简已知等式可得sin（C﹣ ）=1，结合C的范围，可得C的值．（2）由余弦定理，基本不等式可求ab≤1，进而利用三角形面积公式可求△ABC面积的最大值．
【考点精析】通过灵活运用正弦定理的定义和余弦定理的定义，掌握正弦定理:；余弦定理:;;即可以解答此题．