Question

设函数f（x）=2sin（ωx+

π

3

）（ω＞0，x∈R），且以π为最小正周期．
（Ⅰ）求f（

π

2

）的值； 
（Ⅱ）已知f（

a

2

+

π

12

）=

10

13

，a∈（-

π

2

，0），求sin（a-

π

4

）的值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由函数的周期 T=

2π

ω

=π，求出ω=2，得到函数f（x）=2sin（2x+

π

3

），从而求得f（

π

2

）的值．
（Ⅱ）由f（

a

2

+

π

12

）=

10

13

求出cosa，利用同角三角函数的基本关系求出 sina，再由两角差的正弦公式求出 sin（a-

π

4

）的值．

解答：解（Ⅰ）∵T=

2π

ω

=π，∴ω=2，（2分）
∴函数f（x）=2sin（2x+

π

3

）．    （3分）
∴f（

π

2

）=2sin（2×

π

2

+

π

3

）=-2sin

π

3

=-

3

． （5分）
（Ⅱ）∵f（

a

2

+

π

12

）=

10

13

=2sin（a+

π

2

）=2cosa，∴cosa=

5

13

．（7分）
∵a∈（-

π

2

，0），∴sina=-

1-cos2a

=-

12

13

．    （9分）
∴sin（a-

π

4

）=sina•cos

π

4

-cosa•sin

π

4

=

-17 2

26

．      （12分）

点评：本题主要考查利用y=Asin（ωx+φ）的图象性质求函数的解析式，三角函数的恒等变换及化简求值，两角差的正弦公式的应用，属于中档题．