Question

5．已知正项数列{a_n}的前n项和为S_n，满足${a_{n+1}}=2\sqrt{S_n}+1$，（n∈N^*），且a₁=1
（I）求a_n；
（II）设数列$\left\{{\frac{1}{{{a_n}{a_{n+1}}}}}\right\}$前n项和为T_n，求T_n．

Answer 1

分析 （1）由4S_n=a_n+1²+2a_n+1+1，当n≥2时，4S_n-1=a_n²+2a_n+1，两式相减得：（a_n+a_n-1）（a_n-a_n-1-2）=0，则a_n-a_n-1=2，由等差数列通项公式即可求得a_n；
（2）$\frac{1}{{a}_{n}{a}_{n+1}}$=$\frac{1}{（2n-1）（2n+1）}$=$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{2n-1}$-$\frac{1}{2n+1}$），采用裂项法即可求得数列$\left\{{\frac{1}{{{a_n}{a_{n+1}}}}}\right\}$前n项和为T_n．

解答 解：（1）由${a_{n+1}}=2\sqrt{S_n}+1$，则4S_n=a_n+1²+2a_n+1+1，
当n≥2时，4S_n-1=a_n²+2a_n+1，
4a_n=4S_n-4S_n-1=（a_n+1²+2a_n+1+1）-（a_n²+2a_n+1），
整理得：（a_n+a_n-1）（a_n-a_n-1-2）=0，
由a_n≠0，则a_n-a_n-1=2，
则数列{a_n}是以a₁=1为首项，d=2为公差的等差数列，a_n=1+2（n-1）=2n-1，
∴a_n=2n-1；
（2）数列$\left\{{\frac{1}{{{a_n}{a_{n+1}}}}}\right\}$的通项公式数列$\frac{1}{{a}_{n}{a}_{n+1}}$=$\frac{1}{（2n-1）（2n+1）}$=$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{2n-1}$-$\frac{1}{2n+1}$），
T_n=$\frac{1}{2}$（1-$\frac{1}{3}$）+$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{5}$）+…+$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{2n-1}$-$\frac{1}{2n+1}$），
=$\frac{1}{2}$（1-$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{5}$+…+$\frac{1}{2n-1}$-$\frac{1}{2n+1}$），
=$\frac{1}{2}$（1-$\frac{1}{2n+1}$），
=$\frac{n}{2n+1}$，
即数列$\left\{{\frac{1}{{{a_n}{a_{n+1}}}}}\right\}$前n项和T_n=$\frac{n}{2n+1}$，

点评 本题考查等差数列的通项公式的求法，考查“裂项法”求数列的前n项和，考查计算能力，属于中档题．