Question

如图，PA⊥平面ABCD，ABCD是矩形，PA=AB=

2

，AD=

3

，点F是PB的中点，点E是边BC上的动点．
（Ⅰ）求三棱锥E-PAD的体积；
（Ⅱ）当点E为BC的中点时，试判断EF与平面PAC的位置关系，并说明理由；
（Ⅲ）证明：无论点E在边BC的何处，都有PE⊥AF．

Answer 1

分析：（I）利用三棱锥的换底性，求三棱锥P-ADE的体积可得答案；
（II）当E为BC的中点时，可得EF∥PC，由线面平行的判定定理可证EF∥平面PAC；
（III）先证AF⊥PB，再证AF⊥BC，由线面垂直的判定定理可证AF⊥平面PBC，因为无论点E在边BC的何处，PE?平面PBC，故得PE⊥AF．

解答：解：（I）∵PA⊥平面ABCD，四边形ABCD为矩形，
∴V_E-OAD=V_P-ADE=

1

3

×

1

2

×

3

×

2

×

2

=

3

3

；
（II）当E为BC的中点时，
∵F为PB的中点，∴EF∥PC，
又EF?平面PAC，PC?平面PAC，
∴EF∥平面PAC；
（III）∵PA=AB，F为PB的中点，
∴AF⊥PB，
∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥BC，又BC⊥AB，
∴BC⊥平面PAB，
AF?平面PAB，
∴BC⊥AF，BC∩PB=B，∴AF⊥平面PBC，
无论E在边BC的何处，PE?平面PBC，
∴PE⊥AF．

点评：本题考查了线面平行的判定，线面垂直的性质及棱锥的体积计算，考查了学生的推理论证能力，熟练运用线面平行的判定定理与性质定理是解答本题的关键．