Question

7．在如图所示的平面中，点C为半圆的直径AB延长线上的一点，AB=BC=2，过动点P作半圆的切线PQ，若PC=$\sqrt{2}$PQ，则△PAC的面积的最大值为4$\sqrt{5}$．

Answer 1

分析 以AB所在直线为x轴，以AB的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系，利用两点间距离公式推导出点P的轨迹方程是以（-3，0）为圆心，以r=2$\sqrt{5}$为半径的圆，由此能求出△PAC的面积的最大值．

解答 解：以AB所在直线为x轴，以AB的垂直平分线为y轴，
建立平面直角坐标系，
∵AB=BC=2，∴C（3，0），
设P（x，y），
∵过动点P作半圆的切线PQ，PC=$\sqrt{2}$PQ，
∴$\sqrt{（x-3）^{2}+{y}^{2}}$=$\sqrt{2}$•$\sqrt{{x}^{2}+{y}^{2}-1}$，
整理，得x²+y²+6x-11=0，
∴点P的轨迹方程是以（-3，0）为圆心，以r=2$\sqrt{5}$为半径的圆，
∴当点P在直线x=-3上时，△PAC的面积的最大，
∴（S_△PAC）_max=$\frac{1}{2}×4×2\sqrt{5}$=4$\sqrt{5}$．
故答案为：4$\sqrt{5}$．

点评 本题考查三角形面积的最大值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意两点间距离公式的合理运用．