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8.在平面直角坐标系中,以坐标原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系.已知直线l的极坐标方程为$ρsin(\frac{π}{6}-θ)=m$(m为常数),圆C的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}x=-1+2sinα\\ y=\sqrt{3}+2sinα\end{array}$(α为参数)
(1)求直线l的直角坐标方程和圆C的普通方程;
(2)若圆心C关于直线l的对称点亦在圆上,求实数m的值.

分析 (1)利用三种方程的互化方法,即可求直线l的直角坐标方程和圆C的普通方程;
(2)圆心C关于直线的对称点亦在圆上,圆心C到直线的距离为1,即可求实数m的值.

解答 解:(1)由$ρsin(\frac{π}{6}-θ)=m$,展开可得:$ρsin\frac{π}{6}cosθ-ρcos\frac{π}{6}sinθ=m$,
直线l的直角坐标方程为:$x-\sqrt{3}y-2m=0$.
由圆C的参数方程$\left\{\begin{array}{l}x=-1+2sinα\\ y=\sqrt{3}+2sinα\end{array}\right.(α为参数)$.可得:圆C:$(x+1{)^2}+{(y-\sqrt{3})^2}=4$.
(2)圆C的圆心C的坐标C(-1,$\sqrt{3}$),
∵圆心C关于直线的对称点亦在圆上,∴圆心C到直线的距离为1,
∴$\frac{{|-1-\sqrt{3}•\sqrt{3}-2m|}}{2}=1$,解得m=-1或m=-3.

点评 本题考查极坐标方程、参数方程、直角坐标方程的互化,考查点到直线的距离公式,属于中档题.

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