Question

如图，是孝感市在城市改造中的沿市内主干道城站路修建的圆形休闲广场，圆心为O，半径为100m，其与城站路一边所在直线l相切于点M，A为上半圆弧上一点，过点A作l的垂线，垂足为B．市园林局计划在△ABM内进行绿化，设△ABM的面积为S（单位：m²）．
（1）以△AON=θ（rad）为自变量，将S表示成θ的函数；
（2）为使绿化的面积最大，试确定此时点A的位置及其最大面积．

Answer 1

解：（1）由题知：BM=AOsinθ=100sinθ，AB=MO+AOcosθ=100+100cosθ θ∈（0，π）
则S=MB•AB=×100sinθ×（100+100cosθ）
=5000sinθ（1+cosθ）
（2）s′=5000（2cos²θ+cosθ-1）=5000（2cosθ-1）（cosθ+1）
令S′=0得cosθ=，cosθ=-1（舍去），此时θ=
当θ∈时，S′＞0；
∴当θ=时，S取得极大值，即S_最大值=3750
答：当AO与ON成60°角时，绿化面积最大，最大面积为3750 m²

分析：（1）利用三角函数的定义求出BM，AB的长，利用三角形的面积公式求出△ABM的面积
（2）对S求导，令导函数为0求出根，判断根左右两边导函数的符号，求出S的最大值．
点评：本题考查的知识点是在实际问题中建立三角函数的模型、函数单调性的应用、利用导数求闭区间上函数的最值等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想．属于基础题．