Question

已知正三棱锥P-ABC的外接球心为O，且满足

OA

+

OB

+

OC

=

0

，如果球的半径为

2

，则正三棱锥的体积为

6

2

．

Answer 1

分析：由题意

OA

+

OB

+

OC

=

0

，可知球心在三棱锥的底面中心，推出球的半径，求出正三棱锥的高，底面面积，即可得到球的体积．

解答：解：正三棱锥P-ABC的外接球心为O，且满足

OA

+

OB

+

OC

=

0

，所以球心在三棱锥的底面中心，球的半径为

2

，
所以正三棱锥的高为：

2

，正三棱锥的底面边长为：2

( 2 )2-( 2 2 )2

=

6

，
所以底面面积为：

3

4

×(

6

)2=

3 3

2

，
所以正三棱锥的体积：

1

3

×

3 3

2

×

2

=

6

2

，
故答案为：

6

2

．

点评：本题是基础题，确定球的球心的位置是解题的关键，注意正三棱锥的体积的求法，正三角形的面积的应用，考查计算能力，空间想象能力．