Question

【题目】已知函数，.

（Ⅰ）若为偶函数，求的值并写出的增区间；

（Ⅱ）若关于的不等式的解集为，当时，求的最小值；

（Ⅲ）对任意的，，不等式恒成立，求实数的取值范围.

Answer 1

【答案】(1) ；增区间.

(2) 的最小值为，取“”时.

(3) .

【解析】

分析：（Ⅰ）由偶函数的定义得，求出的值.再根据二次函数单调区间的判断方法，确定的增区间；

（Ⅱ）根据已知条件结合韦达定理，求得的值.再化简整理的表达式，结合和基本不等式即可得到答案.

（Ⅲ）先求出区间上，再将不等式恒成立，转化为上恒成立问题，构造新函数，得恒成立，分类讨论求得参数的值.

详解：解：（Ⅰ） 为偶函数，

，即，解得.

所以，函数，对称轴，增区间

（Ⅱ）由题知

∴

又∵，∴

∴，

即的最小值为，取“”时

（Ⅲ）∵时，

∴在恒成立

记，（）

①当时，

由，∴

②当时，

由，∴

③当时，

由，

综上所述，的取值范围是