Question

现有下列命题：
①设a，b为正实数，若a²-b²=1，则a-b＜1；
②设

a

，

b

均为单位向量，若|

a

+

b

|＞1则θ∈[0，

2π

3

)；
③数列{n(n+4)(

2

3

)n}中的最大项是第4项；
④设函数f(x)=

lg|x-1|，x≠1 0，x=1

，则关于x的方程f²（x）+2f（x）=0有4个解．
其中的真命题有

①②③

．（写出所有真命题的编号）．

Answer 1

分析：①将a²-b²=1，分解变形为（a+1）（a-1）=b²，即可证明a-1＜b，即a-b＜1
②根据向量模的计算公式，求出|

a

+

b

|＞1时，夹角θ的范围，可判断真假
③求数列的最大值，可通过做差或做商比较法判断数列的单调性处理．进而判断其真假
④根据函数f(x)=

lg|x-1|，x≠1 0，x=1

，及f²（x）+2f（x）=0解方程求出方程根的个数，可判断其真假

解答：解：①若a²-b²=1，则a²-1=b²，
即（a+1）（a-1）=b²，
∵a+1＞a-1，
∴a-1＜b，即a-b＜1，①正确；
②若|

a

+

b

|＞1，则

a

2+

b

2+2

a

•

b

＞1，
即2+2cosθ＞1，cosθ＞-

1

2

，
又∵θ∈[0，π]，
∴θ∈[0，

2π

3

），②正确；
③由an=n（n+4）（

2

3

）ⁿ，
令

an+1

an

=

(n+1)(n+5)( 2 3 )n+1

(n)(n+4)( 2 3 )n

=

2

3

•

(n+1)(n+5)

(n)(n+4)

≥1，
则2（n+1）（n+5）≥3n（n+4），
即n²≤10，所以n＜4，
即n＜4时，a_n+1＞a_n，
当n≥4时，a_n+1＜a_n，
所以a₄最大，故③正确；
令f²（x）+2f（x）=0，
则f（x）=0，或f（x）=-2，
∵f(x)=

lg|x-1|，x≠1 0，x=1

，
∴当f（x）=0时，
x=1，或x=0，或x=2，
当f（x）=-2时，x=10.1或x=0.99，
故方程有5个解，故④错误
故答案为：①②③

点评：本题主要考查了不等式的证明方法，间接证明和直接证明的方法，放缩法和举反例法证明不等式，演绎推理能力，有一定难度，属中档题