Question

已知函数sin（π-x）cosx，
（1）求函数f（x）在上的值域；
（2）在△ABC中，若f（C）=2，2sinB=cos（A-C）-cos（A+C），求tanA．

Answer 1

【答案】分析：（1）利用三角函数的降幂公式与倍角公式，辅助角公式将函数sin（π-x）cosx转化为：
y=2sin（2x+），由x∈⇒2x+，由正弦函数的图象与性质可求得函数f（x）在上的值域；
（2）由，0＜C＜π⇒C=；2sinB=cos（A-C）-cos（A+C）⇒sinB=sinAsinC
?sin（A+C）=sinAsinC，展开整理即可求得tanA．
解答：解：化简函数为：f（x）=2cos²x+2，
（1）当时，2x+，
∴，2sin（2x）+1∈[0，3]，即f（x）∈[0，3]；
∴函数f（x）的值域为[0，3]．
（2）由条件知，
即：，0＜C＜π，所以C=，
又∵2sinB=cos（A-C）-cos（A+C），
∴2sinB=cosAcosC+sinAsinC-（cosAcosC-sinAsinC），
∴sinB=sinAsinC，由C=，A+B+C=π可得：
sin（A+C）=sinA，即sinAcosC+cosAsinC=sinA，
所以：tanA，
解得：tanA=．
点评：本题考查复合三角函数的单调性，（1）中难点在于由x∈⇒2x+，再利用正弦函数的图象与性质予以解决，（2）着重考查三角函数的恒等变换及化简求值，属于中档题．