【题目】已知函数,其中
.
(1)若,求曲线
在
处的切线方程;
(2)设函数若至少存在一个
,使得
成立,求实数a的取值范围.
【答案】(1)(2)
【解析】
(1)求导后代入求得
在
处的切线斜率,再利用点斜式求得切线方程即可.
(2)求导后分与
时,分析单调性再根据函数性质的最值满足的条件列式求不等式即可.
(1)当时,
,
∴,即切线斜率为2,故由点斜式方程可得切线方程为
,即
(2)原问题等价于至少存在一个,使得
成立,
令,
则
,
①当时,
,则函数h(x)在[1,e]上单调递减,故h(x)min=h(e)=﹣2<0,符合题意;
②当时,令,
,解得
,则函数h(x)在
上单调递减,令
,解得
,则函数h(x)在
单调递增,
且,
,
1.当,即
时,在
上
,
单调递增,
此时不符合题意
2.当,即
时, 在
上
,
单调递减,
此时满足题意
3.当,即
时,
,不满足题意
综上,实数a的取值范围为.
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【题目】2019年11月18日国际射联步手枪世界杯总决赛在莆田市综合体育馆开幕,这是国际射联步手枪世界杯总决赛时隔10年再度走进中国.为了增强趣味性,并实时播报现场赛况,我校现场小记者李明和播报小记者王华设计了一套播报转码法,发送方由明文→密文(加密),接受方由密文→明文(解密),已知加密的方法是:密码把英文的明文(真实文)按字母分解,其中英文的的26个字母(不论大小写)依次对应1,2,3,…,26这26个自然数通过变换公式:
,将明文转换成密文,如
,即
变换成
,即
变换成
.若按上述规定,若王华收到的密文是
,那么原来的明文是( )
A.B.
C.
D.
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【题目】2018年1月26日,甘肃省人民政府办公厅发布《甘肃省关于餐饮业质量安全提升工程的实施意见》,卫生部对16所大学食堂的“进货渠道合格性”和“食品安全”进行量化评估.满10分者为“安全食堂”,评分7分以下的为“待改革食堂”.评分在4分以下考虑为“取缔食堂”,所有大学食堂的评分在7~10分之间,以下表格记录了它们的评分情况:
(1)现从16所大学食堂中随机抽取3个,求至多有1个评分不低于9分的概率;
(2)以这16所大学食堂评分数据估计大学食堂的经营性质,若从全国的大学食堂任选3个,记表示抽到评分不低于9分的食堂个数,求
的分布列及数学期望.
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【题目】海洋蓝洞是地球罕见的自然地理现象,被喻为“地球留给人类保留宇宙秘密的最后遗产”,我国拥有世界上最深的海洋蓝洞,若要测量如图所示的蓝洞的口径,
两点间的距离,现在珊瑚群岛上取两点
,
,测得
,
,
,
,则
,
两点的距离为___.
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【题目】在平面直角坐标系中,曲线C的参数方程为(
为参数),以平面直角坐标系的原点O为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系.
(1)求曲线C的极坐标方程;
(2)过点,倾斜角为
的直线l与曲线C相交于M,N两点,求
的值.
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【题目】一件刚出土的珍贵文物要在博物馆大厅中央展出,需要设计各面是玻璃平面的无底正四棱柱将其罩住,罩内充满保护文物的无色气体.已知文物近似于塔形,高1.8米,体积0.5立方米,其底部是直径为0.9米的圆形,要求文物底部与玻璃罩底边至少间隔0.3米,文物顶部与玻璃罩上底面至少间隔0.2米,气体每立方米1000元,则气体费用最少为( )元
A.4500B.4000C.2880D.2380
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【题目】如图1所示,在等腰梯形ABCD中,,
,垂足为E,
,
将
沿EC折起到
的位置,如图2所示,使平面
平面ABCE.
(1)连结BE,证明:平面
;
(2)在棱上是否存在点G,使得
平面
,若存在,直接指出点G的位置
不必说明理由
,并求出此时三棱锥
的体积;若不存在,请说明理由.
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【题目】设数列,对任意
都有
,(其中k、b、p是常数).
(1)当,
,
时,求
;
(2)当,
,
时,若
,
,求数列
的通项公式;
(3)若数列中任意(不同)两项之和仍是该数列中的一项,则称该数列是“封闭数列”.当
,
,
时,设
是数列
的前n项和,
,试问:是否存在这样的“封闭数列”
,使得对任意
,都有
,且
.若存在,求数列
的首项
的所有取值;若不存在,说明理由.
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