Question

13．已知函数f（x）=2x³-3（a+1）x²+bx．
（1）若曲线y=f（x）在点（2，f（2））处的切线方程为y=6x-8，求实数a、b的值；
（2）若b=6a，a＞1，求f（x）在闭区间[0，4]上的最小值．

Answer 1

分析 （1）求出函数的导数，计算f′（2），f（2）的值，求出a，b的值即可；
（2）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，通过讨论a的范围求出函数的最小值即可．

解答 解：（1）切线方程为y=6x-8，f′（x）=6x²-6（a+1）x+b，
所以f′（2）=6，又因为f（2）=4，解得：a=1，b=6．
（2）记g（a）为 f（x）在闭区间[0，4]上的最小值，
f′（x）=6（x-1）（x-a），
令f′（x）=0，得到x=1或a，
当1＜a＜4时，

x	0	（0，1）	1	（1，a）	a	（a，4）	4
f′（x）		+	0	-	0	+
f（x）	0	单调 递增	极大值 3a-1	单调 递减	极小值 a2（3-a）	单调 递增	80-24a

比较f（0）=0和f（a）=a²（3-a）的大小可得：
g（a）=$\left\{\begin{array}{l}{0，1＜a≤3}\\{{a}^{2}（3-a），3＜a＜4}\end{array}\right.$                                       
当a≥4时，

x	0	（0，1）	1	（1，4）	4
f′（x）		+	0	-
f（x）	0	单调 递增	极大值 3a-1	单调 递减	80-24a

得g（a）=80-24a                                               
综上所述，f（x）在闭区间[0，4]上的最小值为
g（a）=$\left\{\begin{array}{l}{0，1＜a≤3}\\{{a}^{2}（3-a），3＜a＜4}\\{80-24a，a≥4}\end{array}\right.$．

点评 本题考查了切线方程问题，考查函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，是一道中档题．