【题目】已知F是抛物线的焦点,点M是抛物线上的定点,且.
(1)求抛物线C的方程;
(2)直线AB与抛物线C交于不同两点,直线与AB平行,且与抛物线C相切,切点为N,试问△ABN的面积是否是定值.若是,求出这个定值;若不是,请说明理由.
【答案】(1);(2)定值
【解析】
(1)设,由,求得,代入抛物线的方程,求得的值,即可得到抛物线的方程;
(2)设其方程为,联立方程组,求得,得到Q,
由条件设切线的方程为,联立方程组,利用根与系数的关系,求得切点N,再由轴,求得及,利用面积公式,即可求解。
(1)设,由题知,所以,
所以,即,
代入中得,解得,
所以抛物线C的方程为。
(2)由题意知,直线AB的斜率存在,设其方程为,
由,整理得,则,
所以,
设AB的中点为Q,则点Q的坐标为,
由条件设切线的方程为,则,整理得。
因为直线与抛物线相切,所以,所以,
所以,所以,所以,
所以切点N的坐标为,
所以轴,所以,
因为,
又因为,所以,
所以,
所以的面积为定值,且定值为
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【题目】如图,某人工景观湖外围有两条相互垂直的直线型公路ll,l2,且ll和l2交于点O.为了方便游客游览,计划修建一条连接公路与景观湖的直线型公路AB.景观湖的轮廓可以近似看成一个圆心为O,半径为2百米的圆,且公路AB与圆O相切,圆心O到ll,l2的距离均为5百米,设OAB=,AB长为L百米.
(1)求L关于的函数解析式;
(2)当为何值时,公路AB的长度最短?
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【题目】已知f(x)是定义在上的单调函数,且对任意的x∈都有,则方程的一个根所在的区间是( )
A. (0,1) B. (1,2) C. (2,3) D. (3,4)
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【题目】某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费,需了解年宣传费(单位:万元)对年销售量(单位:吨)和年利润(单位:万元)的影响.对近六年的年宣传费和年销售量()的数据作了初步统计,得到如下数据:
年份 | ||||||
年宣传费(万元) | ||||||
年销售量(吨) |
经电脑模拟,发现年宣传费(万元)与年销售量(吨)之间近似满足关系式().对上述数据作了初步处理,得到相关的值如表:
(1)根据所给数据,求关于的回归方程;
(2)已知这种产品的年利润与,的关系为若想在年达到年利润最大,请预测年的宣传费用是多少万元?
附:对于一组数据,,…,,其回归直线中的斜率和截距的最小二乘估计分别为,
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【题目】已知命题p:x2+mx+1=0有两个不等的负根;命题q:4x2+4(m﹣2)x+1=0无实根.若命题p与命题q有且只有一个为真,求实数m的取值范围.
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【题目】某大学生从全校学生中随机选取名统计他们的鞋码大小,得到如下数据:
鞋码 | 合计 | ||||||||||
男生 | |||||||||||
女生 |
以各性别各鞋码出现的频率为概率.
()从该校随机挑选一名学生,求他(她)的鞋码为奇数的概率.
()为了解该校学生考试作弊的情况,从该校随机挑选名学生进行抽样调查.每位学生从装有除颜色外无差别的个红球和个白球的口袋中,随机摸出两个球,若同色,则如实回答其鞋码是否为奇数;若不同色,则如实回答是否曾在考试中作弊.这里的回答,是指在纸上写下“是”或“否”.若调查人员回收到张“是”的小纸条,试估计该校学生在考试中曾有作弊行为的概率.
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【题目】唐代诗人李欣的是古从军行开头两句说“百日登山望烽火,黄昏饮马傍交河”诗中隐含着一个有缺的数学故事“将军饮马”的问题,即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发,先到河边饮马后再回到军营,怎样走才能使总路程最短?在平面直角坐标系中,设军营所在区域为,若将军从出发,河岸线所在直线方程,并假定将军只要到达军营所在区域即回到军营,则“将军饮马”的最短总路程为( )
A.B.C.D.
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