Question

（2011•湖南模拟）设函数f（x）=x²+3，对任意x∈[1，+∞），f（

3 2 x

m

）+m²f（x）≥f（x-1）+3f（m）恒成立，则实数m的取值范围是

（-∞，-

6

]∪[-

3

，0）∪（0，

3

]∪[

6

，+∞）

．

Answer 1

分析：先把原不等式整理后转化为g（x）=（

18

m2

+m²-1）x²+2x-10≥0对任意x∈[1，+∞）恒成立，再利用二次函数恒成立的求解方法即可求实数m的取值范围．

解答：解：原不等式f（

3 2 x

m

）+m²f（x）≥f（x-1）+3f（m）整理得（

18

m2

+m²-1）x²+2x-10≥0，
即可以转化为g（x）=（

18

m2

+m²-1）x²+2x-10≥0对任意x∈[1，+∞）恒成立．
∵

18

m2

+m²≥2

18 m2 •m2

=6

2

＞1，即函数g（x）开口向上，对称轴为负数，所以在x∈[1，+∞）上递增．
故只须g（1）≥0⇒

18

m2

+m²-9≥0⇒（m²）²-9m²+18≥0⇒m²≥6或m²≤3．⇒m≥

6

或-

3

≤m＜0或0＜m≤

3

或m≤-

6

．
故答案为：（-∞，-

6

]∪[-

3

，0）∪（0，

3

]∪[

6

，+∞）．

点评：本题主要考查二次函数的恒成立问题．二次函数的恒成立问题分两类，一是大于0恒成立须满足开口向上，且判别式小于0，二是小于0恒成立须满足开口向下，且判别式小于0．