Question

（1）已知椭圆

x2

5

+

y2

m

=1的离心率e=

10

5

，求m的值；
（2）若双曲线

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）的一个焦点到一条渐近线的距离等于焦距的

1

4

，求该双曲线的离心率．

Answer 1

分析：（1）分焦点在x轴上和焦点在y轴上两种情况加以讨论，求出实数m的值，再根据椭圆的基本量关系和离心率公式，即可算出所求椭圆的离心率；
（2）算出双曲线渐近线方程的一般式，利用点到直线的距离公式结合题意列式，可得b=

1

2

c，再根据双曲线的平方关系和离心率公式加以计算，即可得到该双曲线的离心率．

解答：解：（1）①若焦点在x轴上，则有

5＞m 5-m 5 = 10 5

，解之得m=3；
②若焦点在y轴上，则有

5＜m m-5 5 = 10 5

，解之得m=

25

3

．
∴综上所述，m的值为3或

25

3

．
（2）∵双曲线

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）的渐近线的方程为y=±

b

a

x，即bx±ay=0
∴一个焦点到一条渐近线的距离为：

bc

b2+a2

=

1

4

×2c，得b=

1

2

c，
两边平方，得b²=c²-a²=

1

4

c²，即a²=

3

4

c²，
∴a=

3

2

c，可得离心率e=

c

a

=

2 3

3

．

点评：本题给出满足条件的圆锥曲线，求该双曲线的离心率，着重考查了椭圆和双曲线的标准方程、简单几何性质等知识，属于基础题．