Question

若函数f（x）同时满足：①对于定义域上的任意x，恒有f（-x）+f（x）=0；②对于定义域上的任意x₁，x₂，当x₁≠x₂时，恒有

f(x1)-f(x2)

x1-x2

＞0，则称函数f（x）为“理想函数”，给出下列四个函数中：
①f（x）=2x
②f（x）=-

1

x

③f（x）=log2x2
④f（x）=

ex-1

ex+1

⑤f（x）=

-x2(x＜0) x2(x≥0)

能被称为“理想函数”的有

①④⑤

．

Answer 1

分析：根据已知中“理想函数”中条件①等价于函数为奇函数；条件②等价于函数在R上为增函数；逐一判断五个函数的单调性和奇偶性，可得答案．

解答：解：若条件①成立，则函数为奇函数；若条件②成立，则函数在R上为增函数；
①中函数f（x）=2x即是奇函数，又在R上为增函数，故①是“理想函数”；
②中函数f（x）=-

1

x

是奇函数，但在R上不是增函数，故②不是“理想函数”；
③中函数f（x）=log2x2是偶函数，且在R上不是增函数，故③不是“理想函数”；
④中函数f（x）=

ex-1

ex+1

是奇函数，又在R上为增函数，故④是“理想函数”；
⑤中函数f（x）=

-x2(x＜0) x2(x≥0)

是奇函数，又在R上为增函数，故⑤是“理想函数”；
故五个函数中①④⑤为“理想函数”；
故答案为：①④⑤

点评：本题以命题的真假判断为载体考查了函数的奇偶性和单调性，熟练掌握各种初等基本函数单调性和奇偶性是解答的关键．